Основное кинетическое уравнение

Основное кинетическое уравнение — феноменологическое уравнение, описывающее эволюцию системы во времени. Установлено В. Паули в 1928 году. Название «основное уравнение» — перевод термина Шаблон:Lang-en. Называется также производящее уравнение, управляющее уравнение, уравнение кинетического баланса. Иногда также называют уравнением Паули (не путать с уравнением Паули, являющимся обобщением уравнения Шрёдингера!).

Для процесса, не зависящего от прошлого системы (марковский процесс), основное кинетическое уравнение имеет вид:

$\frac{d{P}_n}{dt}=\sum _{m\ne n}(w_{nm}\cdot P_m-w_{mn}\cdot P_n)$.

где

• $P_m={\rho }_{mm}$ и $P_n={\rho }_{nn}$ — вероятности того, что система находится в состояниях $m$ и $n$, соответствующие диагональным элементам матрицы плотности $\rho$;
• $w_{mn}=\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}(n\to m)$ — вероятность перехода системы из состояния $n$ в состояние $m$ в единицу времени (скорость изменения вероятности);
• $w_{nm}=\mathrm{p}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{b}(m\to n)$ — вероятность обратного перехода системы из состояния $m$ в состояние $n$ в единицу времени (скорость изменения вероятности).

В общем случае, при наличии в системе эффекта памяти, её прошлое состояние оказывает влияние на будущее (немарковский процесс). В этом случае основное кинетическое уравнение имеет вид:

$\frac{d{P}_n(t)}{dt}=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{t}{\int }}\sum _m(w_{nm}(t-\tau )\cdot P_m(\tau )-w_{mn}(t-\tau )\cdot P_n(\tau ))d\tau$,

где

• $w_{mn}(t-\tau )$ — функция памяти системы.

Для системы с непрерывно распределённой случайной переменной $x$, основное кинетическое уравнение определяет плотность вероятности $W(x,t)$:

$\frac{\partial W(x,t)}{\partial t}=\int (w(x,x^{\prime })\cdot W(x^{\prime },t)-w(x^{\prime },x)\cdot W(x,t))d{x}^{\prime }$

где

• $w(x,x^{\prime })$ — плотность вероятности перехода $x^{\prime }\to x$ в единицу времени.

Примеры основных уравнений:

• уравнение Линдблада
• уравнение Фоккера — Планка
• уравнение Больцмана

Литература

• Шаблон:Из