Уравнение Линдблада

Шаблон:Физическая теория Уравнение Линдблада (реже: уравнение Горини — Коссаковского — Сударшана — Линдблада, Шаблон:Lang-en или уравнение Шаблон:Lang-en: Franke — Gorini — Kossakowski — Lindblad — Sudarshan, связанное с именем В. А. Франке) — уравнение для матрицы плотности, является наиболее общим видом марковского производящего уравнения, описывающего неунитарную (диссипативную, негамильтонову) эволюцию матрицы плотности $\rho$. Эволюция при этом представляется вполне-положительным отображением (супероператором), сохраняющим след. Предложено в 1976 году Шаблон:Nowrap, Шаблон:Nowrap, Джорджем Сударшаном и Шаблон:Nowrap.

Уравнение Линдблада для матрицы плотности может быть записано в виде:

$\frac{d}{dt}\rho =\frac{1}{i\hslash }[H,\rho ]+\frac{1}{2\hslash }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}([V_k\rho ,V_k^{†}]+[V_k,\rho V_k^{†}]),$

где $\rho$ — матрица плотности, $H$ — оператор Гамильтона, $V_k$ — некие операторы. Если операторы $V_k$ равны нулю, то уравнение Линдблада переходит в уравнение фон Неймана (квантовое уравнение Лиувилля).

Уравнением Линдблада называют также уравнение для квантовой наблюдаемой. Это уравнение имеет вид:

$\frac{d}{dt}A=-\frac{1}{i\hslash }[H,A]+\frac{1}{2\hslash }\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(V_k^{†}[A,V_k]+[V_k^{†},A]V_k),$

где $A$ — квантовая наблюдаемая. Если операторы $V_k$ равны нулю, то уравнение Линдблада для квантовой наблюдаемой $A$ переходит в уравнение Гейзенберга

Уравнение Линдблада, называемое также квантовым марковским уравнением, применяется для описания открытых, диссипативных и негамильтоновых квантовых систем.

Важным частным случаем уравнения Линдблада является модель случайных столкновений, в которой операторы $V_k$ имеют вид: $V_{kl}=\hslash \gamma \sqrt{{\tilde{\rho }}_{kk}}|k⟩⟨l|$ (для удобства записи матричный индекс $k$ заменен на двойной). Подстановка этих операторов приводит уравнение Линдблада к виду:

$\frac{d}{dt}\rho =\frac{1}{i\hslash }[H,\rho ]+\gamma (\tilde{\rho }-\rho ),$

где $\tilde{\rho }$ — фиксированная диагональная матрица с ненулевыми элементами ${\tilde{\rho }}_{kk}$, такими, что $\mathrm{Tr}\tilde{\rho }=1$, описывающая матрицу плотности термодинамически равновесного состояния системы. Модель случайных столкновений пригодна для случаев, когда взаимодействие квантовой системы с резервуаром происходит в режиме коротких и сильных импульсов, между которыми система эволюционирует как закрытая.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:КнигаШаблон:Недоступная ссылка
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга Шаблон:Wayback