Спинорное расслоение

В дифференциальной геометрии, спинорное расслоение — локально тривиальное расслоение специального вида над (псевдо)римановым многообразием. Сечение спинорного расслоения, называемое спинорным полем, моделирует в физике фермионное поле в произвольном пространстве.

Определение

Данное ниже определение обобщается естественным образом на случай псевдориманова многообразия произвольной сигнатуры. Пусть $(M,g)$ — ориентируемое риманово многообразие, $\pi :{\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{O}}(M)\to M$ — расслоение ортонормированных реперов, $\rho :\mathrm{Spin}(n)\to \mathrm{SO}(n)$ — двулистное накрытие. Спинорной структурой называют пару $({\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}(M),\phi )$, где ${\pi }_s:{\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}(M)\to M$ — $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)$-главное расслоение над $M$, $\phi :{\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}\to {\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{O}}$ — эквивариантное двулистное накрытие такое, что

$\pi \circ \varphi ={\pi }_s,\varphi (pq)=\varphi (p)\rho (q)$ для всех $p\in {\mathrm{F}}_{\mathrm{Spin}}$ и $q\in \mathrm{Spin}(n)$.

Расслоение допускает спинорную структуру тогда и только тогда, когда второй класс Штифеля — Уитни w₂(M) ∈ H²(M, Z₂) обращается в ноль.

Пусть на $(M,g)$ задана спинорная структура, тогда спинорным расслоением называют ассоциированное c ${\mathrm{F}}_{\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}}(M)$ расслоение с типичным слоем $V={ℂ}^n$ с заданным спинорным представлением $\mathrm{S}\mathrm{p}\mathrm{i}\mathrm{n}(n)\to \mathrm{G}\mathrm{L}(V)$. Его сечения называют спинорными полями.

См. также

• Спинор
• Спинорная группа
• Локально тривиальное расслоение
• Фермионное поле

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Cite book