Уравнение Брейта

Уравнение Брейта — релятивистское волновое уравнение, полученное Грегори Брейтом в 1929 году на основе уравнения Дирака. Оно описывает две или более массивные частицы со спином 1/2 (например, электроны), которые взаимодействуют электромагнитно с точностью до первого порядка теории возмущений. Оно учитывает магнитные взаимодействия и запаздывающие эффекты с точностью до 1/c². Когда другие квантовые электродинамические эффекты незначительны, это уравнение показывает хорошее согласование с экспериментом. Впервые оно было получено из дарвиновского лагранжиана, а позже доказано в теории поглощения Уилера — Фейнмана и, наконец, в квантовой электродинамике.

Вступление

Уравнение Брейта является не только приближением в терминах квантовой механики, но и в терминах теории относительности, поскольку не вполне инвариантно относительно преобразований Лоренца. Как и уравнение Дирака, оно трактует ядра как точечные источники внешнего поля для частиц, которые оно описывает. Для N частиц уравнение Брейта имеет вид (r_ij — расстояние между частицами i и j):

$i\hslash \frac{\partial \mathrm{\Psi }}{\partial t}=(\sum _i{\hat{H}}_D(i)+\sum _{i>j}\frac{q_i{q}_j}{r_{ij}}-\sum _{i>j}{\hat{B}}_{ij})\mathrm{\Psi }$

где

${\hat{H}}_D(i)=[q_i\varphi ({𝐫}_i)+c\sum _{s=x,y,z}{\alpha }_s(i){\pi }_s(I)+{\alpha }_0(I)m_0{c}^2]$

гамильтониан Дирака для i-й частицы с координатой r_i и φ(r_i) скалярный потенциал в этом положении. q_i — заряд частицы, поэтому для электрона q_i = −e.

Одноэлектронные дираковские гамильтонианы для частиц, вместе со своими мгновенными кулоновскими взаимодействиями q_iq_j/r_ij, формируют оператор Дирака — Кулона. К этому Брейт добавил следующий оператор (оператор Брейта):

${\hat{B}}_{ij}=-\frac{1}{2r_{ij}}[𝐚(i)\cdot 𝐚(j)+\frac{(𝐚(i)\cdot {𝐫}_{ij})(𝐚(j)\cdot {𝐫}_{ij})}{r_{ij}^2}]$,

где матрицы Дирака для i-го электрона: a(i) = [α_x(i),α_y(i),α_z(i)]. Два слагаемых в операторе Брейта соответствуют запаздывательным эффектам к первому порядку. Волновая функция Ψ в уравнении Брейта является спинором с 4N элементами, поскольку каждый электрон описывается дираковским биспинором с 4 элементами, а полная волновая функция их тензорным произведением.

Гамильтониан Брейта

Полный гамильтониан в уравнении Брейта, так называемый гамильтониан Дирака — Кулона — Брейта (H_DCB) можно разложить на операторы энергии для электронов в магнитном и электрическом полях (также известный как гамильтониан Брейта — Паули)Шаблон:Ref, имеющие хорошо определённый смысл при рассмотрении взаимодействий молекул с магнитными полями (например, в случае ядерного магнитного резонанса):

${\hat{B}}_{ij}={\hat{H}}_0+{\hat{H}}_1+\mathrm{...}+{\hat{H}}_6$,

где ${\hat{H}}_0$ — нерелятивистский гамильтониан ($m_i$ — масса покоя частицы i):

${\hat{H}}_0=\sum _i\frac{{\hat{p}}_i^2}{2m_i}+\sum _{i>j}\frac{q_i{q}_j}{r_{ij}}$;

${\hat{H}}_1$ — релятивистская поправка к нерелятивистскоому гамильтониану (связанная с разложением энергии по степеням скорости света $E_{kin}=m_i{c}^2\sqrt{1+{\gamma }^2{v}^2/c^2}-m_i{c}^2$):

${\hat{H}}_1=-\frac{1}{8c^2}\sum _i\frac{{\hat{p}}_i^4}{m_i^3}$;

${\hat{H}}_2$ — поправка, частично учитывает запаздывание и может быть описана как взаимодействие между магнитными дипольными моментами частиц, возникающими вследствие орбитального движения зарядов (взаимодействие орбита — орбита):

${\hat{H}}_2=-\sum _{i>j}\frac{q_i{q}_j}{2r_{ij}{m}_i{m}_j{c}^2}[{\widehat{𝐩}}_i\cdot {\widehat{𝐩}}_j+\frac{({𝐫}_{𝐢𝐣}\cdot {\widehat{𝐩}}_i)({𝐫}_{𝐢𝐣}\cdot {\widehat{𝐩}}_j)}{r_{ij}^2}]$;

${\hat{H}}_3$ — классическое взаимодействие между орбитальными магнитными моментами (вследствие орбитального движения зарядов) и спиновыми магнитными моментами (так называемое спин-орбитальное взаимодействие). Первое слагаемое описывает взаимодействие спина частицы с собственным орбитальным моментом (F(r_i) — электрическое поле в месте расположения частицы), а второе слагаемое - с орбитальным моментом другой частицы:

${\hat{H}}_3=\frac{{\mu }_B}{c}\sum _i\frac{1}{m_i}{𝐬}_i\cdot [𝐅({𝐫}_i)\times {\widehat{𝐩}}_i+\sum _{j>i}\frac{2q_i}{r_{ij}^3}{𝐫}_{ij}\times {\widehat{𝐩}}_j]$;

${\hat{H}}_4$ — неклассическое, присущее теории Дирака слагаемое, которое также называют дарвиновским вкладом:

${\hat{H}}_4=\frac{ih}{8\pi c^2}\sum _i\frac{q_i}{m_i^2}{\widehat{𝐩}}_i\cdot 𝐅({𝐫}_i)$;

${\hat{H}}_5$ — магнитный момент спин-спинового взаимодействия. Первое слагаемое называется контактным взаимодействием, поскольку он отличен от нуля только, когда частицы находятся в одной точке. Второе слагаемое - классическая взаимодействие диполь-дипольного типа:

${\hat{H}}_5=4{\mu }_B^2\sum _{i>j}\{-\frac{8\pi }{3}({𝐬}_i\cdot {𝐬}_j)\delta ({𝐫}_{ij})+\frac{1}{r_{ij}^3}[{𝐬}_i\cdot {𝐬}_j-\frac{3({𝐬}_i\cdot {𝐫}_{ij})({𝐬}_j\cdot {𝐫}_{ij})}{r_{ij}^2}]\}$;

${\hat{H}}_6$ — взаимодействие спинового и орбитального магнитных моментов с внешним магнитным полем H:

${\hat{H}}_6=\frac{2e\hslash }{2mc}\sum _i[𝐇({𝐫}_i)\cdot {𝐬}_i+\frac{q_i}{m_{i}c}𝐀({𝐫}_i)\cdot {\widehat{𝐩}}_i]$.

Примечания

• Шаблон:Note Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Cite news
• Шаблон:Статья