Просмотр кода страницы Репдиджиты

'''Репди́джиты''' ({{lang-en|repdigit}}, от ''{{lang|en|'''rep'''eated '''digit'''}}'' — повторённая цифра){{sfn|Карпушина|2013|с=115, 143}}, также '''репдигиты'''<ref name="knop" />, '''однообра́зные чи́сла''', '''[[Шнапс|шна́псовые]] чи́сла''' — [[натуральные числа]], все цифры [[Позиционная система счисления|записи]] которых одинаковые. Обычно подразумевается запись в [[Десятичная система счисления|десятичной системе счисления]]. Для подобных чисел верна формула.

<math>\underbrace{n n \ldots n n}_{k } = \frac{(nn - n)^k - n^k}{(nn - 2\cdot n) \cdot n^{(k-2)}}</math>

Где nn - это объединение n с n. k - количество объединенных n.<ref>{{Cite web|url=https://www.researchgate.net/publication/387482677_Issledovanie_konkatenacii_Repdidzitov|title=nnn....nnn|lang=русский|author=Шатилов Кирилл|website=https://www.researchgate.net|date=2024-10|publisher=https://www.researchgate.net/|url-status=live}}</ref>

Пример: Для n = 23, k  = 5. 

<math>\frac{(2323 - 23)^5 - 23^5}{(2323 - 2\cdot 23) \cdot 23^{(5-2)}} = \frac{64363429993563657}{27704259} = \underbrace{2323232323}_{5}</math>

Кроме того, любое число можно разложить на сумму и разность таких чисел. вот веб-сайт, где вы можете это сделать - <nowiki>https://andsha.pythonanywhere.com</nowiki>. 

Например:

3453455634 = 3333333333 + (111111111 + (9999999 - (999999 - (11111 + (77 + (2)))))).

Рассмотрим сумму сочетаний чисел (nnn, nnnn, nnnnn, nnnnnn). Формула для их вычисления:<ref>{{Статья|ссылка=https://www.researchgate.net/publication/386102376_where_do_even_concatenations_disappear_to?_tp=eyJjb250ZXh0Ijp7ImZpcnN0UGFnZSI6ImhvbWUiLCJwYWdlIjoicHJvZmlsZSIsInByZXZpb3VzUGFnZSI6ImhvbWUiLCJwb3NpdGlvbiI6InBhZ2VDb250ZW50In19|автор=Кирилл Шатилов|заглавие=исчезновение четных конкатенаций|год=2024|язык={{lang-en|}}|издание=ResearchGate|тип=сайт|месяц=октябрь|число=10|страницы=1}}</ref>

<math>n \cdot (nnn + nnnnn + nnnnn + nnnnnn) = n n \cdot (nnn + nnnnn) + 2n ^ 2
</math>

Примеры: {{num1|11}}, {{num1|666}}, [[Четыре четвёрки|4444]], [[Точка Фейнмана|{{num|999999}}]]. Все репдиджиты являются [[палиндром]]ами и кратны [[репьюнит]]ам. Самый известный репдиджит — 666, известный в [[Христианство|христианстве]] как ''[[число зверя]]''.

== Определение ==
Репдиджит — это число в [[Позиционная система счисления|позиционной системе счисления]] с целым основанием {{mvar|B}}, представимое в виде
: <math>x\frac{B^y -1}{B-1},</math>
где {{s|1=0 < {{mvar|x}} < {{mvar|B}} —}} повторяющаяся цифра, {{mvar|y}} — количество цифр. Например, {{num1|77|число 77}} в десятичной системе счисления представимо в виде
: <math>77 = 7*\frac{10^2-1}{10-1}.</math>

== Примечания ==
{{примечания|1|refs =

<ref name="knop">{{cite web
 |url         = http://www.oocities.org/capecanaveral/4344/211.html
 |title       = В погоне за простотой
 |author      = Константин Кноп
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20091020030046/http://geocities.com/CapeCanaveral/4344/211.html
 |archive-date = 2009-10-20
 |quote       = Однако я могу назвать огромное простое число, запись и запоминание которого не вызовет у вас почти никаких трудностей. Это число 111...11, состоящее из 1031 единицы. Подобные числа называют репьюнитами (от англ. repeat unit - повторение единицы). Остальные числа, записанные одинаковыми цифрами, называют репдигитами (repeat digit).
}}</ref>

}}

== Литература ==
* {{книга
 |автор = Н. М. Карпушина
 |заглавие = Вне формата. Занимательная математика: гимнастика для ума или искусство удивлять?
 |место = М.
 |издательство = АНО Редакция журнала «Наука и жизнь»
 |год = 2013
 |страниц = 288
 |isbn = 978-5-904129-07-1
 |ссылка = https://books.google.com/books?id=DdcbAgAAQBAJ&pg=PA13
 |ref = Карпушина
}}

== Ссылки ==
* {{MathWorld3|Repdigit}}
* {{статья
 |заглавие = On Repdigit Polygonal Numbers
 |автор = Mike Keith
 |ссылка = //cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/keith.html
 |издание = Journal of Integer Sequences
 |том = 1
 |год = 1998
 |язык = en
}}
; OEIS
* {{OEIS long|10785|en=Repdigit numbers, or numbers with repeated digits}}
* {{OEIS long|28987|en=Repdigit - 1 is prime}}
* {{OEIS long|28988|en=Repdigit + 1 is prime}}
* {{OEIS long|164937|en=Near-repdigit primes}}

{{math-stub}}
{{Классы натуральных чисел}}

[[Категория:Целочисленные последовательности, зависящие от системы счисления]]