Просмотр кода страницы Риск-нейтральная мера

{{нет источников|дата=2023-10-04}}
'''Риск-нейтральная мера''' (скорректированная на риск мера, эквивалентная мартингальная мера) — применяемая в стохастической финансовой теории (математике) искусственная вероятностная [[мера множества|мера]] (эквивалентная физической вероятностной мере) относительно которой будущая стоимость актива в единицах [[банковский счет (финансовая математика)|банковского счета]] — отношение стоимости рисковых активов к стоимости банковского счета (счета денежного рынка) — является [[мартингал]]ом (или хотя бы локальным мартингалом) на безарбитражном рынке <ref>{{Cite book |last=Björk |first=Tomas |title=Arbitrage theory in Continuous Time |publisher=Oxford University Press |year=2004 |isbn=978-0-19-927126-9 |location=New York |language=en}}</ref>.

Существование такой меры на безарбитражном рынке гарантируется первой фундаментальной теоремой теории арбитражного ценообразования (APT), а её единственность в случае полных рынков — второй теоремой APT.

Свойство мартингальности позволяет выразить текущую стоимость будущих денежных потоков через условное математическое ожидание (в риск-нейтральной мере) их дисконтированной величины.

Риск-нейтральную меру чаще всего обозначают <math>\mathbb{Q}</math> в отличие от физической вероятностной меры <math>\mathbb{P}</math>

== Формула оценки в риск-нейтральной мере ==

Пусть в момент T величина платежа равна <math>V_T</math>. Мартингальное свойство риск-нейтральной меры означает по определению что

<math>{V_t \over B_t}=\mathbb{E}_t^\mathbb{Q} \Bigl({V_T \over B_T} \Bigr)</math>

где <math>B_t=B_0 e^{\int^t_0 r_u du}</math> - так процесс так называемого [[Банковский счет (финансовая математика)|банковского счета]], являющегося локально предсказуемым процессом роста по безрисковой ставке <math> r_t </math> (процентная ставка случайна в общем случае).

Отсюда стоимость актива в данный момент времени

<math>V_t=B_t \mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\Bigl({V_T \over B_T} \Bigr)=\mathbb{E}_t^\mathbb{Q}\Bigl({B_t \over B_T} V_T \Bigr)=\mathbb{E}_t^\mathbb{Q} \Bigl(D(t,T)V_T\Bigr)</math>

где <math>D(t,T)=B_t/B_T= e^{-\int^T_t r_u du}</math> - дисконтирующий процесс.

== Связанные понятия ==

*[[Дисконтная облигация|Бескупонная (дисконтная) облигация]] - безрисковая облигация с единичным номиналом и сроком погашения T. Стоимость такой облигации согласно общей формуле оценки в риск-нейтральной мере равна

<math>P(t,T)=\mathbb{E}_t^\mathbb{Q} [D(t,T)]=\mathbb{E}_t^\mathbb{Q} [ e^{-\int^T_t r_u du}]</math>

Стоимость такой облигации представляет собой так называемый дисконт-фактор (множитель дисконтирования), если перейти от риск-нейтральной меры к так называемой T-форвардной мере:

<math> V_t=P(t,T) \mathbb{E}_t^{\mathbb{Q}^T} [V_T]</math>

*Фьючерсные цены и фьючерсные ставки являются мартингалами в риск-нейтральной мере.
*'''Спот-мера''' - дискретный аналог "непрерывной" риск-нейтральной меры

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Финансовая математика]]
[[Категория:Деривативы]]