Просмотр кода страницы Риччи-солитон

'''Риччи-солитон''' — решение [[поток Риччи|потока Риччи]] при котором пространство не меняется или меняется только изменением масштаба.
Названы в честь [[Риччи-Курбастро, Грегорио|Грегорио Риччи-Курбастро]].

[[Многообразие Эйнштейна|Многообразия Эйнштейна]] являются простейшим примером риччи-солитонов,
для них параметриазация получаемая из потока Риччи является постоянной.

В общем случае, поток ричи определяет однопараметрическое семейство диффеоморфизмов на многообразии, получаемое интегрированием некого векторного поля <math>X</math>, удовлетвояющего уравнению
:<math> \operatorname{Rc}(g_0) = \lambda \cdot g_0 + \mathcal{L}_X g_0, </math>
где <math>\operatorname{Rc}</math> — [[Тензор Риччи|кривизной Риччи]] тензор, и <math>\mathcal{L}</math> — [[производная Ли]].
Если <math>X=0</math>, то условие превращается в [[Многообразие Эйнштейна|условие Эйнштейна]]

== Типы ==
* Если поле <math>X=\nabla f</math> является градиентом некой функции <math>f</math>, то солитон называется '''градиентным'''. В этом случае уравнение принимает вид
*:<math> \operatorname{Rc}(g_0) = \lambda \cdot g_0 + \mathrm{Hess} f, </math>
:а сама функция <math>f</math> называется '''потенциалом''' солитона.
* При <math> \lambda=0</math> солитон называется '''стационарным''', в этом случае рeшение существует на всей вещественной прамой и геометрически не меняется во времени; может меняться только параметризация фиксированного многообразия.
* При <math> \lambda>0</math> солитон '''сжимающийся''', рeшение можно определить на луче <math>(-\infty,0)</math> .
* При <math> \lambda<0</math> солитон '''растягивающийся''', рeшение можно определить на луче <math>(0,\infty)</math>.

== Свойства ==

* Для любого конуса <math>C</math> над сферой с римановой метрикой оператора кривизны <math>\ge 1</math> существует единственный растягивающийся градиентный риччи-солитон <math>M^t</math>, такой, что  <math>M^t</math> сходится к <math>C</math> при <math>t\to 0</math> [[сходимость по Громову — Хаусдрофу|по Громову — Хаусдрофу]].<ref>{{arxiv|1502.07921}}</ref>

*Для любого градиентного солитона с потенциалом  <math>f</math> выполняется тождество
*:<math>2\cdot \mathrm{Rc}(\nabla f)+\nabla \mathrm{R}=0,</math>
:где  <math>\mathrm{Rc}</math> обозначает [[тензор Риччи]], а <math>\mathrm{R}</math> — [[скалярная кривизна|скалярную кривизну]].

== Примеры ==
*Евлидово пространство является грдиентным Риччи-солитоном; потенциалом может служить любая функция пропорциональная квадрату расстояния до фиксированной точки; в зависимости от выбора коэффициента пропорциональности можно получить стационарный, сжимающийся, а также растягивающийся солитон.
* Плоскость <math>\mathbb{R}^2</math> с метрикой
*:<math>ds^2= \frac{dx^2+dy^2}{1+x^2+y^2} </math>
: является стационарным градиентным солитоном с потенциалом <math>f=-\ln (1+x^2+y^2)</math>. Это так называемая '''сигара''' [[Гамильтон, Ричард (математик)|Гамильтона]].

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{arxiv|0908.2006}}
*{{книга|автор=Chow, Bennett, Peng Lu, and Lei Ni|заглавие=Hamilton's Ricci flow|год=2006|серия=|ссылка=|место=|издательство=American Mathematical Soc.|тираж=|страниц=|isbn=}}

[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия]]