Риччи-солитон

Риччи-солитон — решение потока Риччи при котором пространство не меняется или меняется только изменением масштаба. Названы в честь Грегорио Риччи-Курбастро.

Многообразия Эйнштейна являются простейшим примером риччи-солитонов, для них параметриазация получаемая из потока Риччи является постоянной.

В общем случае, поток ричи определяет однопараметрическое семейство диффеоморфизмов на многообразии, получаемое интегрированием некого векторного поля $X$, удовлетвояющего уравнению

$\mathrm{Rc}(g_0)=\lambda \cdot g_0+{ℒ}_X{g}_0,$

где $\mathrm{Rc}$ — кривизной Риччи тензор, и $ℒ$ — производная Ли. Если $X=0$, то условие превращается в условие Эйнштейна

Типы

• Если поле $X=\mathrm{\nabla }f$ является градиентом некой функции $f$, то солитон называется градиентным. В этом случае уравнение принимает вид

  $\mathrm{Rc}(g_0)=\lambda \cdot g_0+\mathrm{H}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}f,$

а сама функция $f$ называется потенциалом солитона.

• При $\lambda =0$ солитон называется стационарным, в этом случае рeшение существует на всей вещественной прамой и геометрически не меняется во времени; может меняться только параметризация фиксированного многообразия.
• При $\lambda >0$ солитон сжимающийся, рeшение можно определить на луче $(-\mathrm{\infty },0)$ .
• При $\lambda <0$ солитон растягивающийся, рeшение можно определить на луче $(0,\mathrm{\infty })$.

Свойства

• Для любого конуса $C$ над сферой с римановой метрикой оператора кривизны $\ge 1$ существует единственный растягивающийся градиентный риччи-солитон $M^t$, такой, что $M^t$ сходится к $C$ при $t\to 0$ по Громову — Хаусдрофу.

• Для любого градиентного солитона с потенциалом $f$ выполняется тождество

  $2\cdot \mathrm{R}\mathrm{c}(\mathrm{\nabla }f)+\mathrm{\nabla }\mathrm{R}=0,$

где $\mathrm{R}\mathrm{c}$ обозначает тензор Риччи, а $\mathrm{R}$ — скалярную кривизну.

Примеры

• Евлидово пространство является грдиентным Риччи-солитоном; потенциалом может служить любая функция пропорциональная квадрату расстояния до фиксированной точки; в зависимости от выбора коэффициента пропорциональности можно получить стационарный, сжимающийся, а также растягивающийся солитон.
• Плоскость ${ℝ}^2$ с метрикой

  $d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{1+x^2+y^2}$

является стационарным градиентным солитоном с потенциалом $f=-\ln (1+x^2+y^2)$. Это так называемая сигара Гамильтона.

Литература

• Шаблон:Arxiv
• Шаблон:Книга