Просмотр кода страницы Ромб

{{другие значения|Ромб (значения)}}
[[Файл:Rhombus.svg|right|300px]]
'''Ромб''' ({{lang-grc|ῥόμβος}}, {{lang-la|rombus}}, в буквальном переводе: «[[бубен]]») — это [[параллелограмм]], у которого все стороны равны{{sfn |Элементарная математика|1976|с=435.|name=EM435}} (см. другие варианты определения{{переход|Признаки|1}}).

Термин «ромб» происходит от {{lang-grc|ῥόμβος}} — «[[бубен]]». Если сейчас бубны в основном делают круглой формы, то раньше их делали как раз в форме квадрата или ромба. Поэтому название карточной масти [[Бубны (масть)|бубны]], знаки которой имеют ромбическую форму, происходит ещё с тех времён, когда бубны не были круглыми.

Слово «ромб» впервые употребляется у [[Герон]]а и [[Папп Александрийский|Паппа Александрийского]].

== Свойства ==
* Ромб является [[параллелограмм]]ом, поэтому его противолежащие стороны равны и попарно [[Параллельность|параллельны]]: ''АВ'' || ''CD'', ''AD'' || ''ВС''. Противоположные углы ромба равны, а соседние углы дополняют друг друга до 180°.
* Высоты в ромбе равны между собой.
* [[Диагональ|Диагонали]] ромба пересекаются под [[Прямой угол|прямым углом]] (''AC'' ⊥ ''BD'') и в точке пересечения делятся пополам. Тем самым диагонали делят ромб на четыре равных [[Прямоугольный треугольник|прямоугольных треугольника]].
* Диагонали ромба являются [[биссектриса]]ми его углов (∠''DCA'' = ∠''BCA'', ∠''ABD'' = ∠''CBD'' {{итд}}).
* Сумма квадратов диагоналей равна квадрату стороны, умноженному на 4 (следствие из [[Тождество параллелограмма|тождества параллелограмма]]).
* Середины четырёх сторон ромба являются вершинами [[прямоугольник]]а.
* Диагонали ромба являются осями его симметрии.
* В любой ромб можно вписать [[окружность]], центр которой лежит на пересечении его диагоналей.
* Диагонали <math>p</math> и <math>q</math> ромба выражаются через сторону ромба <math>a</math> и угол <math>\alpha</math> между двумя смежными сторонами ромба как
<math>p=(\sqrt{1+\sin\alpha}-\sqrt{1-\sin\alpha}) a=2a\sin\frac{\alpha}{2}</math>;

<math>q=(\sqrt{1+\sin\alpha}+\sqrt{1-\sin\alpha}) a=2a\cos\frac{\alpha}{2}</math>.

== Признаки ==
Самое общее определение: ромб — это выпуклый [[четырёхугольник]]<ref>Требование выпуклости нужно, чтобы исключить случаи вырожденного четырёхугольника, у которого часть вершин совпадают (например, фигура, имеющая вид буквы V и ромбом не являющаяся).</ref>, все стороны которого равны друг другу. Можно показать, что такой четырёхугольник является [[параллелограмм]]ом<ref>''[[Погорелов, Алексей Васильевич|Погорелоа А. В.]]'' [https://5terka.com/node/2270 Домашняя работа по геометрии за 8 класс.] {{Wayback|url=https://5terka.com/node/2270 |date=20230419105511 }} М.: Просвещение, 2001, С. 18.</ref><ref name=EM435/>.

[[Параллелограмм]] <math>ABCD</math> является ромбом тогда и только тогда, когда выполняется хотя бы одно из следующих условий{{sfn |Элементарная математика|1976|с=435—436.}}:
* Две его смежные стороны равны (отсюда следует, что все стороны равны).
* Его диагонали пересекаются под прямым углом.
* Одна из диагоналей делит содержащие её углы пополам. Другими словами, диагональ является биссектрисой противоположных углов.
* Диагонали параллелограмма делят его на четыре равных между собой треугольника.
* Диагонали параллелограмма являются осями симметрии<ref>{{Публикация|1=Книга|заглавие=Геометрические задачи на экзаменах. Часть 1. Планиметрия|ссылка=https://file.11klasov.net/15587-geometricheskie-zadachi-na-jekzamenah-v-3-chastjah-shahmejster-ah.html|год=2015|автор=Шахмейстер А. Х.|ref=Шахмейстер|язык=|вид=книга|часть=Треугольники и параллелограммы|ответственный=А. Х. Шахмейстер|место=СПб.|издательство=«Петроглиф» : «Виктория плюс»|место2=М.|издательство2=Издательство МЦНМО|страницы=26|страниц=392|иллюстрации=илл.|размеры=21 см|серия=Математика. Элективные курсы|тираж=1500|ббк=22.141я71.6|удк=373.167.1:512|isbn=978-5-98712-083-5|isbn2=978-5-91673-155-2|isbn3=978-5-4439-0347-7|архив дата=2023-02-20|архив=https://web.archive.org/web/20230220190545/https://file.11klasov.net/15587-geometricheskie-zadachi-na-jekzamenah-v-3-chastjah-shahmejster-ah.html}}</ref>.

Помимо всего, ромб можно рассматривать как частный случай [[дельтоид]]а, у которого ''любые две смежные стороны равны между собой''.

== Квадрат как частный случай ромба ==
Из определения квадрата, как четырёхугольника, у которого все стороны и углы равны, следует, что квадрат — частный случай ромба. Иногда квадрат определяют, как ромб, у которого все углы равны.

Однако иногда под ромбом может пониматься только четырёхугольник с непрямыми углами, то есть с парой острых и парой тупых углов<ref>Ромб // Малый академический словарь. — М.: Институт русского языка Академии наук СССР. Евгеньева А. П.. 1957—1984.</ref><ref>''Чудинов А. Н.'' Ромб // Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. 1910.</ref>.

== Уравнение ромба ==
[[Файл:RombusEquation.png|thumb|right|280px|К уравнению ромба (центр в начале координат)]]
Уравнение ромба с центром в точке <math>\{x_0,y_0\}</math> и диагоналями, параллельными осям координат, может быть записано в виде<ref name=Superellipse>{{mathworld|title=Superellipse|urlname=Superellipse}} Здесь ромб назван ''diamond''.</ref>:
: <math>\frac{|x-x_0|}{a} + \frac{|y-y_0|}{b} = 1,</math>
где <math>a, b</math> — половины длин диагоналей ромба по осям <math>X, Y</math> соответственно.

Длина стороны ромба равна <math>\sqrt{a^2 + b^2}.</math> Площадь ромба равна <math>2ab.</math> Левый угол ромба рассчитывается по формуле:
: <math>2\operatorname{arctg}\frac{b}{a}</math>
Второй угол дополняет его до 180°.

В случае a = b уравнение отображает повёрнутый на 45° квадрат:
: <math>|x-x_0| + |y-y_0| = a,</math>
где сторона квадрата равна <math>a\sqrt{2},</math> а его диагональ равна <math>2a.</math> Соответственно площадь квадрата равна <math>2a^2.</math>

Из уравнения видно, что ромб можно рассматривать<ref name=Superellipse/> как [[суперэллипс]] степени 1.

== [[Площадь]] ромба ==
[[Файл:Rhombus1.svg|right|280px]]
* Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей.
: <math>S=\dfrac{AC \cdot BD}{2}</math>

* Поскольку ромб является параллелограммом, его площадь также равна произведению его стороны на высоту.
: <math>S=a \cdot h</math>

* Кроме того, площадь ромба может быть вычислена по формуле:
: <math>S=a^2 \cdot \sin \alpha</math>,
где <math>\alpha</math> — угол между двумя смежными сторонами ромба.

* Также площадь ромба можно рассчитать по формуле, где присутствует радиус [[Вписанная окружность|вписанной окружности]] и угол <math>\alpha</math>:
: <math>S=\dfrac{4r^2}{\sin \alpha};</math>

* Площадь ромба равна удвоенному произведению стороны и радиуса [[Вписанная окружность|вписанной окружности]]:
: <math>S=2 a r.</math>

== Радиус вписанной окружности ==
Радиус [[Вписанная окружность|вписанной окружности]] {{math|''r''}} может быть выражен через диагонали {{math|''p''}} и {{math|''q''}} в виде<ref name=Mathworld>{{mathworld |urlname=Rhombus |title=Rhombus}}</ref>:
: <math>r = \frac{p \cdot q}{2\sqrt{p^2+q^2}}.</math>

== В геральдике ==
Ромб является [[Простые геральдические фигуры|простой геральдической фигурой]].
<gallery class="center">
Файл:Lozenge demo2.svg|Червлёный ромб в серебряном поле
Файл:Blason fam fr du Puy du Fou.svg|В червлёном поле 3 сквозных ромба: 2 и 1
Файл:Rustre demo2.svg|Просверленный червлёный ромб в серебряном поле
Файл:Blason Villeneuve d'Aveyron F-12.svg|В лазури левая перевязь, составленная из пяти вертикальных золотых ромбов
</gallery>

== Симметрия ==
Ромб симметричен относительно любой из своих диагоналей, поэтому часто используется в [[орнамент]]ах и [[Паркет (геометрия)|паркетах]].
<gallery class="center">
Файл:Isohedral tiling p4-51c.svg|Ромбический орнамент
Файл:Rhombic star tiling 3 vertices.svg|Ромбические звёзды
Файл:Rhombic star tiling 4.svg|Более сложный орнамент
Файл:Penrose Tiling (Rhombi).svg|[[Мозаика Пенроуза]]
</gallery>
См. [[commons:Category:Rhombille tiling|другие примеры]] на [[Викисклад]]е.

== См. также ==
{{Навигация
|Викисловарь=ромб
}}
* [[Дельтоид]]
* [[Звезда (геометрия)]]
* [[Ромбододекаэдр]]
* [[Ромбоид]]
* [[Ромб (символ)]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{книга |автор=[[Выгодский, Марк Яковлевич|Выгодский М. Я.]] |ref=Выгодский М. Я.
   |заглавие=Справочник по элементарной математике |место = М. |издательство=Наука |год=1978 }}
* {{книга |автор=Зайцев В. В., Рыжков В. В., [[Сканави, Марк Иванович|Сканави М. И.]]
  |заглавие=Элементарная математика. Повторительный курс |издание=Издание третье, стереотипное
  |издательство=Наука |место=М. |год=1976 |страниц=591 |ref=Элементарная математика}}

{{Многоугольники}}

[[Категория:Четырёхугольники]]