Просмотр кода страницы Ряд Фурье

[[Файл:Synthesis square.gif|thumb|350px|right|Результаты добавления членов ряда Фурье при аппроксимации разрывной кусочно-постоянной функции. Выбросы на фронтах обусловлены [[Равномерная сходимость|неравномерной сходимостью]] ряда Фурье в точках разрыва ({{iw|явление Гиббса||en|Gibbs phenomenon}}).]]

'''[[Ряд (математика)|Ряд]] [[Фурье, Жан Батист Жозеф|Фурье́]]''' — представление функции <math>f</math> с периодом <math>\tau</math> в виде ряда

: <math> f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{+\infty} A_k\cos\left(k\frac{2\pi}{\tau}x+\theta_k\right)</math>

Этот ряд может быть также записан в виде

: <math>f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ik \frac{2\pi}{\tau}x},</math>

где
: <math>A_k</math> — амплитуда <math>k</math>-го гармонического колебания,
: <math> k\frac{2\pi}{\tau} = k\omega</math> — круговая частота гармонического колебания,
: <math>\theta_k</math> — начальная фаза <math>k</math>-го колебания,
: <math>\hat{f}_k</math> — <math>k</math>-я [[комплексная амплитуда]]

В более общем виде, рядом Фурье элемента некоторого пространства функций называется разложение этого элемента по полной системе [[ортонормированные функции|ортонормированных функций]] или другими словами по [[Ортогональный базис|базису]], состоящему из [[ортогональные функции|ортогональных функций]]. В зависимости от используемого вида интегрирования говорят о рядах [[Интеграл Римана|Фурье — Римана]], [[Интеграл Лебега|Фурье — Лебега]] и т. п.<ref name="МЭС">{{книга
|часть =
|заглавие = Математический энциклопедический словарь
|оригинал =|автор =|ссылка =https://archive.org/details/libgen_00858224|isbn = 
|страницы = [https://archive.org/details/libgen_00858224/page/n618 619]
|год = 1988
|место =  М.
|издательство = [[Большая Российская энциклопедия (издательство)|«Сов. энциклопедия »]]
}}</ref>

Существует множество систем [[Ортогональные многочлены|ортогональных многочленов]] и других ортогональных функций (например, функции [[Функция Хаара|Хаара]], [[Функция Уолша|Уолша]] и Котельникова), по которым может быть произведено разложение функции в ряд Фурье.

Разложение функции в ряд Фурье является мощным инструментом при решении самых разных задач благодаря тому, что ряд Фурье прозрачным образом ведёт себя при [[Производная функции|дифференцировании]], [[интегрирование|интегрировании]], сдвиге функции по аргументу и [[Свёртка (математический анализ)|свёртке]] функций.

Существуют многочисленные обобщения рядов Фурье в различных разделах математики. Например, любую функцию на конечной группе можно разложить в ряд, аналогичный ряду Фурье, по матричным элементам неприводимых представлений этой группы ([[теорема полноты]]).

== История ==
Ряд Фурье назван в честь французского математика [[Фурье, Жан-Батист Жозеф|Жана-Батиста Жозефа Фурье]] (1768—1830), внесшего важный вклад в изучение тригонометрических рядов после предварительных исследований [[Эйлер, Леонард|Леонарда Эйлера]], [[Д’Аламбер, Жан Лерон|Жана Лерона д’Аламбера]] и [[Бернулли, Даниил|Даниила Бернулли]]<ref>{{cite book|last1=Fetter|first1=Alexander L.|last2=Walecka|first2=John Dirk|title=Theoretical Mechanics of Particles and Continua|url=https://books.google.com/books?id=olMpStYOlnoC&pg=PA209|date=2003|publisher=Courier|isbn=978-0-486-43261-8|pages=209—210}} {{Wayback|url=https://books.google.com/books?id=olMpStYOlnoC&pg=PA209 |date=20210418044951 }}</ref>. Фурье представил ряд с целью решения [[Уравнение теплопроводности|уравнения теплопроводности]] в металлической пластине, написав свои первоначальные результаты в своем «Воспоминании о распространении тепла в твердых телах» («Трактат о распространении тепла в твердых телах») и опубликовав в Аналитической теории тепла (Théorie analytique de la chaleur) в 1822 году. В Воспоминании приведен анализ Фурье, в частности ряд Фурье. Благодаря исследованиям Фурье был установлен факт того, что произвольная (непрерывная)<ref name= "Stillwell2013">{{книга |заглавие=Routledge History of Philosophy |ссылка=https://books.google.com/books?id=91AqBgAAQBAJ&pg=PA204 |том=Volume VII: The Nineteenth Century |год=2013 |издательство=[[Routledge]] |isbn=978-1-134-92880-4 |часть=Logic and the philosophy of mathematics in the nineteenth century |страницы=204 |язык= |автор={{Нп3|John Stillwell|Stillwell, John|en|John Stillwell}} |ответственный=Ten, C. L. |archive-date=2020-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200516005144/https://books.google.com/books?id=91AqBgAAQBAJ&pg=PA204 }}</ref> функция может быть представлена тригонометрическим рядом. Первое объявление об этом великом открытии было сделано Фурье в 1807 году перед Французской академией<ref name="Cajori1893">{{книга |заглавие=A History of Mathematics |ссылка=https://books.google.com/books?id=kqQPAAAAYAAJ&pg=PA283 |год=1893 |издательство=Macmillan |страницы=283 |язык= |автор=[[Кэджори, Флориан|Florian Cajori]]}}</ref>. Ранние идеи разложения периодической функции на сумму простых осциллирующих функций относятся к 3 веку до нашей эры, когда древние астрономы предложили эмпирическую модель движения планет, основанную на семействах и эпициклах.

Уравнение теплопроводности является уравнением в частных производных. До работы Фурье в общем случае не было известно решение уравнения теплопроводности, хотя были известны конкретные решения, если бы источник тепла вел себя простым образом, в частности, если источником тепла была волна синуса или косинуса. Эти простые решения теперь иногда называют собственными решениями. Идея Фурье состояла в том, чтобы смоделировать сложный источник тепла как суперпозицию (или линейную комбинацию) простых синусоидальных и косинусных волн и записать решение как суперпозицию соответствующих собственных решений. Эта суперпозиция или линейная комбинация называется рядом Фурье.

С современной точки зрения, результаты Фурье несколько неформальны из-за отсутствия точного понятия функции и интеграла в начале девятнадцатого века. Позднее [[Дирихле, Петер Густав Лежён|Петер Густав Лежён Дирихле]]<ref>{{статья|заглавие=Sur la convergence des séries trigonométriques qui servent à représenter une fonction arbitraire entre des limites données|язык=fr |издание=[[Journal für die reine und angewandte Mathematik]]|том=4|страницы=157—169|arxiv=0806.1294|ссылка=https://archive.org/details/arxiv-0806.1294|автор={{Нп3|Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav |Lejeune-Dirichlet, Peter Gustav||Peter Gustav Lejeune Dirichlet}}|год=1829}}</ref> и [[Риман, Бернхард|Бернхард Риман]]<ref>{{cite web|url = http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Trig/| title=Ueber die Darstellbarkeit einer Function durch eine trigonometrische Reihe |language=German|work=[[Habilitationsschrift]], [[Göttingen]]; 1854. Abhandlungen der [[Göttingen Academy of Sciences|Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen]], vol. 13, 1867. Published posthumously for Riemann by [[Richard Dedekind]] | archivedate= 2008-05-20| archiveurl= https://web.archive.org/web/20080520085248/http://www.maths.tcd.ie/pub/HistMath/People/Riemann/Trig/ }}</ref><ref>{{citation|first1=D. |last1=Mascre|first2= Bernhard|last2= Riemann|chapter = Posthumous Thesis on the Representation of Functions by Trigonometric Series |date=1867|url=https://books.google.com/books?id=UdGBy8iLpocC|title=Landmark Writings in Western Mathematics 1640–1940|editor-first= Ivor |editor-last=Grattan-Guinness|p= 49|publisher= Elsevier|publication-date=2005}}</ref><ref>{{книга |ссылка=https://books.google.com/books?id=uP8SF4jf7GEC |заглавие=Theory of Complex Functions: Readings in Mathematics |страницы=29 |издательство=Springer |язык=en |автор=Remmert, Reinhold |год=1991 |archive-date=2020-05-16 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200516154609/https://books.google.com/books?id=uP8SF4jf7GEC }}</ref> выразили результаты Фурье с большей точностью и формальностью.

Хотя первоначальной мотивацией было решение уравнения теплопроводности, позже стало очевидно, что те же методы можно применять к широкому кругу математических и физических задач, особенно тех, которые включают линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами, для которых собственные решения являются синусоидами. Ряд Фурье имеет много применений в области электротехники, вибрации анализа, акустики, оптики, обработки сигналов, обработки изображений, квантовой механики, эконометрики<ref>{{книга |год=1995 |заглавие=Analysis of Economic Time Series. Economic Theory, Econometrics, and Mathematical Economics |издательство=[[Elsevier]] |isbn=0-12-515751-7 |ссылка=https://archive.org/details/analysisofeconom0000nerl |язык=en |автор=Nerlove, Marc; Grether, David M.; Carvalho, Jose L.}}</ref>, теории [[Перекрытие-оболочка|перекрытия-оболочки]]<ref>{{книга |год=1957 |заглавие=Statik und Dynamik der Schalen |язык=de |ссылка=https://books.google.com/books?id=W24ZAAAAIAAJ |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |место=Berlin |автор=Flugge, Wilhelm |archive-date=2020-05-14 |archive-url=https://web.archive.org/web/20200514071707/https://books.google.com/books?id=W24ZAAAAIAAJ }}</ref> и т. д.

== Тригонометрический ряд Фурье ==
{{Основная статья|Тригонометрический ряд Фурье}}

''Тригонометрическим рядом Фурье'' функции <math>f\in {\mathcal L}([-\pi,\pi])</math> (то есть функции, [[Интеграл Лебега|суммируемой]] на промежутке <math>([-\pi,\pi])</math>, или её периодического продолжения на вещественную прямую) называют [[функциональный ряд]] вида

: <math>f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{\infin}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx),</math> (1)

где

: <math>a_0= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,</math>

: <math>a_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx,</math>

: <math>b_n= \frac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx,</math>
Числа <math>a_0</math>, <math>a_n</math> и <math>b_n</math> (<math>n = 1, 2, \ldots</math>) называются ''коэффициентами Фурье функции <math>f</math>''. Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, что мы хотим представить функцию <math>f\in\mathcal{L}([-\pi,\pi])</math> в виде ряда (1) и нам надо определить неизвестные коэффициенты <math>a_0</math>, <math>a_n</math> и <math>b_n</math>. Если умножить правую часть (1) на <math>\cos(kx)</math> и проинтегрировать по промежутку <math>[-\pi,\pi]</math>, то все слагаемые в правой части, благодаря ортогональности синусов и косинусов на этом промежутке, обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент <math>a_k</math>. Аналогично для <math>b_k</math>.

Ряд (1) для функции <math>f</math> из [[Пространство Lp#Пространство L²|пространства <math>\mathcal{L}_2([-\pi,\pi])</math>]] [[Предел последовательности|сходится]] в этом пространстве. Иными словами, если обозначить через <math>S_k(x)</math> частичные суммы ряда (1):

: <math>S_k(x)=\frac{a_0}{2} + \sum^{k}_{n=1} (a_n \cos nx + b_n \sin nx)</math>,

то их [[среднеквадратичное отклонение]] от функции <math>f</math> будет стремиться к нулю:

: <math>\lim\limits_{k\rightarrow \infty}\int\limits_{-\pi}^{\pi}(f(x)-S_k(x))^2dx=0</math>.

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно.

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем [[Пространство Lp#Пространство L²|пространство <math>\mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math>]] комплекснозначных функций со [[скалярное произведение|скалярным произведением]]
: <math>\langle f,g\rangle := \int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)\overline{g(x)}dx</math>.

Мы также рассматриваем систему функций

:: <math>\varphi_k(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx), k\in\mathbb{Z}</math>.

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция <math>f\in \mathcal{L}^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math> может быть разложена по ним в ряд Фурье:

: <math>f(x) = \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \hat{f}_k e^{ikx}</math>,

где ряд в правой части сходится к <math>f</math> по норме в <math>L^2([-\pi,\pi],\mathbb{C})</math>. Здесь

: <math>\hat{f}_k= \frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}f(x)e^{-ikx}dx</math>.

Коэффициенты <math>\hat{f}_k</math> связаны с классическими коэффициентами Фурье следующими соотношениями:
: <math>\hat{f}_k = (a_k-ib_k)/2, k>0</math>
: <math>\hat{f}_0 = a_0/2</math>
: <math>\hat{f}_k = (a_{|k|}+ib_{|k|})/2, k<0</math>
: <math>a_k = \hat{f}_k+\hat{f}_{-k}, k>0</math>
: <math>b_k = i(\hat{f}_k-\hat{f}_{-k}), k>0</math>

Для вещественнозначной функции коэффициенты <math>\hat{f}_k</math> и <math>\hat{f}_{-k}</math> комплексно сопряжены.

== Обобщения ==

=== Ряды Фурье в гильбертовом пространстве ===
Описанную выше конструкцию можно обобщить со случая [[Пространство Lp#Пространство L²|пространства <math>L^2[-\pi,\pi]</math>]] с тригонометрической системой на произвольное гильбертово пространство. Пусть даны [[ортогональная система]] <math>\{\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...\}</math> в [[Гильбертово пространство|гильбертовом пространстве]] <math>H</math>
и <math>f</math> — произвольный элемент из <math>H</math>. Предположим, что мы хотим представить <math>f</math> в виде (бесконечной) линейной комбинации элементов <math>\{\varphi_k\}</math>:
: <math>f = \sum^{\infin}_{n=1}c_n\varphi_n.</math>
Домножим это выражение на <math>\varphi_k</math>. С учётом ортогональности системы функций <math>\{\varphi_k\}</math> все слагаемые ряда обращаются в ноль, кроме слагаемого при <math>n=k</math>:
: <math>   (f, \varphi_k) = c_k\|\varphi_k\|^2.   </math>
Числа
: <math>c_k =\frac{(f, \varphi_k)}{\|\varphi_k\|^2}</math>
называются ''координатами'', или ''коэффициентами Фурье'' элемента <math>f</math> по системе <math>\{\varphi_k\}</math>, а ряд
: <math>\sum_k c_k \varphi_k</math>
называется '''рядом Фурье''' элемента <math>f</math> по ортогональной системе <math>\{\varphi_k\}</math>.

Ряд Фурье любого элемента <math>f</math> по любой ортогональной системе сходится в пространстве <math>H</math>, но его сумма не обязательно равна <math>f</math>. Для [[ортонормированная система|ортонормированной системы]] <math>{\varphi_k}</math> в [[сепарабельное пространство|сепарабельном]] гильбертовом пространстве следующие условия эквивалентны:

* система является [[базис]]ом, то есть сумма ряда Фурье любого элемента равна этому элементу.
* система является ''полной'', то есть в <math>H</math> не существует ненулевого элемента, ортогонального всем элементам <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math> одновременно.
* система является ''замкнутой'', то есть для любого <math>f\in H</math> выполнено [[равенство Парсеваля]]
:: <math>\sum_{k=1}^\infty |c_k|^2 = \|f\|^2</math>.
* линейные комбинации элементов <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math> [[всюду плотное множество|плотны]] в пространстве <math>H</math>.

Если эти условия не выполняются, то сумма ряда Фурье элемента <math>f</math> равна его [[ортогональная проекция|ортогональной проекции]] на [[Замыкание (алгебра)|замыкание]] [[линейная оболочка|линейной оболочки]] элементов <math>\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_n, ...</math>. В этом случае вместо равенства Парсеваля справедливо ''неравенство Бесселя'':
: <math>\sum_{k=1}^\infty c_k^2 \leqslant \|f\|^2.</math>

{{Hider|
  title = Примеры |
  content =  Тригонометрические функции <math>\sin(kx)</math>, <math>\cos(kx)</math> образуют базис гильбертова пространства <math>L_2[-\pi,\pi]</math>. Если мы рассмотрим только косинусы или только синусы, то такая система больше не будет полной. Замыкание линейной оболочки функций <math>\cos(kx)</math> - это все четные функции из <math>L_2</math>, а замыкание линейной оболочки функций <math>\sin(kx)</math> - все нечетные функции. Результатом разложения функции <math>f</math> в ряды Фурье по этим системам будут соответственно четная и нечетная части функции <math>f</math>: 
:<math>\sum\limits_0^n a_k \cos(kx) = \frac{f(x)+f(-x)}{2},</math>
:<math>\sum\limits_1^n b_k \sin(kx) = \frac{f(x)-f(-x)}{2}.</math>

Еще более интересная ситуация возникает при рассмотрении системы <math>\{e^{ikx}\}_{k=0}^{+\infty}</math>. Эта система вновь не будет полной. Замыкание её линейной оболочки — пространство Харди <math>H_2</math>. Элементы этого пространства -- те и только те функции <math>f\in L_2</math>, которые имеют вид <math>f(t)=g(e^{it})</math>, где <math>g</math> — граничные значения некоторой функции, аналитической в круге <math>|z|<1.</math>|
  frame-style = border: 1px solid Plum; |
  title-style = color: black; background-color: lavender; font-weight: bold; | 
  content-style = color: black; background-color: ghostwhite; text-align: left; |
  hidden=1
}}

=== Двойственность Понтрягина ===
{{main|Двойственность Понтрягина}}

При обобщении теории рядов Фурье на случай гильбертовых пространств теряются свойства, выражающие связь рядов Фурье со [[свертка (математический анализ)|свёрткой]] — то, что коэффициенты Фурье свертки функций являются почленными произведениями их коэффициентов Фурье, и наоборот, коэффициенты Фурье произведения представляются сверткой коэффициентов Фурье сомножителей. Эти свойства являются ключевыми для приложений теории Фурье к решению [[дифференциальное уравнение|дифференциальных]], [[интегральное уравнение|интегральных]] и других функциональных уравнений. Поэтому большой интерес представляют такие обобщения теории рядов Фурье, при которых эти свойства сохраняются. Таким обобщением является теория двойственности Понтрягина. Она рассматривает функции, заданные на [[Локальная компактность|локально-компактных]] [[абелева группа|абелевых]] [[Группа (математика)|группах]]. Аналогом ряда Фурье такой функции будет функция, заданная на двойственной группе.

== Сходимость ряда Фурье ==
[[Файл:Periodic identity function.gif|thumb|400px|Сходимость ряда Фурье]]

=== Обзор результатов о сходимости ряда Фурье ===
Обозначим через <math>S_N(f,x)</math> частичные суммы ряда Фурье функции <math>f(x)</math>:
: <math>S_N(f,x):=\sum\limits_{k=-N}^N\hat{f}_ke^{ikx}</math>.
Далее обсуждается [[предел последовательности|сходимость последовательности]] функций <math>S_N(f,x)</math> к функции <math>f(x)</math> в различных смыслах. Функция <math>f</math> предполагается <math>2\pi</math>-периодической (если она задана только на промежутке <math>[-\pi,\pi]</math>, её можно периодически продолжить).

* Если <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math>, то последовательность <math>S_N(f,x)</math> сходится к функции <math>f(x)</math> [[сходимость в L2|в смысле <math>L_2</math>]]. Кроме того, <math>S_N(f,x)</math> являются наилучшим (в смысле расстояния в <math>L_2</math>) приближением функции <math>f</math> [[Тригонометрический полином|тригонометрическим многочленом]] степени не выше <math>N</math>.
* Сходимость ряда Фурье в заданной точке <math>x_0</math> — локальное свойство, то есть, если функции <math>f</math> и <math>g</math> совпадают в некоторой окрестности <math>x_0</math>, то последовательности <math>S_N(f,x_0)</math> и <math>S_N(g,x_0)</math> либо одновременно расходятся, либо одновременно сходятся, и в этом случае их пределы совпадают. (Принцип локализации).
* Если функция <math>f</math> дифференцируема в точке <math>x_0</math>, то её ряд Фурье в этой точке сходится к <math>f(x_0)</math>. Более точные достаточные условия в терминах гладкости функции <math>f</math> задаются [[признак Дини|признаком Дини]].
* Функция, непрерывная в точке <math>x_0</math>, может иметь расходящийся в ней ряд Фурье. Однако, если он сходится, то непременно к <math>f(x_0)</math>. Это следует из того, что для непрерывной в <math>x_0</math> функции <math>f</math> последовательность <math>S_N(f,x_0)</math> [[сходимость по Чезаро|сходится по Чезаро]] к <math>f(x_0)</math>.
* Если функция <math>f</math> разрывна в точке <math>x_0</math>, но имеет пределы в этой точке справа и слева <math>f(x_0+0)\neq f(x_0-0),</math> то при некоторых дополнительных условиях <math>S_N(f,x_0)</math> сходятся к <math>(f(x_0+0)+f(x_0-0))/2</math>. Подробнее см. [[признак Дини|модифицированный признак Дини]].
* ''Теорема Карлесона:'' если <math>f\in L_2([-\pi,\pi])</math>, то её ряд Фурье сходится к ней [[сходимость почти всюду|почти всюду]]. Это верно и если <math>f\in L_p([-\pi,\pi]), p>1</math>. Однако, существуют функции из <math>L_1([-\pi,\pi])</math>, ряд Фурье которых расходится во всех точках (пример такой функции построен [[Колмогоров, Андрей Николаевич|Колмогоровым]]<ref>[http://www.mathnet.ru/links/5e740e99be052aabb4e379e829466873/mp21.pdf ''В. М. Тихомиров, В. В. Успенский''. Пеpвые филдсовские лауpеаты и советская математика 30-х годов. I. — Матем. просв., сер. 3, 2, МЦНМО, М., 1998, 21-40.]</ref>).
* Зафиксируем точку <math>x_0\in(-\pi,\pi)</math>. Тогда множество всех непрерывных функций, ряд Фурье которых сходится в этой точке, является множеством [[категория Бэра|первой категории]] в [[пространство непрерывных функций|пространстве <math>C([-\pi,\pi])</math>]]. В некотором смысле это означает, что «типичная» непрерывная функция имеет расходящийся ряд Фурье.

=== Убывание коэффициентов Фурье и аналитичность функции ===
Существует фундаментальная связь между аналитичностью функции и скоростью убывания её коэффициентов Фурье. Чем «лучше» функция, тем быстрее её коэффициенты стремятся к нулю, и наоборот. Степенное убывание коэффициентов Фурье присуще функциям класса <math>C^{(k)}</math>, а экспоненциальное — [[аналитическая функция|аналитическим функциям]]. Примеры такого рода связи:
* Коэффициенты Фурье любой [[интеграл|интегрируемой]] функции стремятся к нулю ({{нп5|лемма Римана — Лебега|||Riemann–Lebesgue_lemma}}).
* Если функция <math>f</math> принадлежит классу <math>C^{(k)}([-\pi,\pi])</math>, то есть дифференцируема <math>k</math> раз и её <math>k</math>-я производная непрерывна, то <math>\hat{f}_n=o\left(\frac{1}{n^k}\right)</math>
* Если ряд <math>\sum n^{\alpha}\hat{f}_n</math> [[абсолютная сходимость|сходится абсолютно]], то <math>f</math> совпадает [[почти всюду]] с функцией класса <math>C^{(k)}([-\pi,\pi])</math> при всех <math>k<\alpha</math>.
* Если функция принадлежит [[условие Гельдера|классу Гёльдера]] с показателем <math>\alpha>1/2</math>, то ряд <math>\sum \hat{f}_n</math> сходится абсолютно ([[теорема Бернштейна]]).{{нет АИ|11|02|2023}}
<!-- * Если <math>\hat{f}_n=O(a^n),0<a<1</math>, то тригонометрический ряд Фурье сходится к [[аналитическая функция|аналитической функции]].{{нет АИ|1|12|2009}}-->

== См. также ==
{{кол|18em}}
* [[Преобразование Фурье]]
* [[Быстрое преобразование Фурье]]
* [[Тригонометрический ряд]]
* [[Признак Жордана]]
* [[Признак Дини]]
* [[Числовой ряд]]
* [[АТС-теорема]]
* [[Натуральный звукоряд]]
* {{iw|Явление Гиббса||en|Gibbs phenomenon}}
{{кол|конец}}

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга
|автор = Жук В. В., Натансон Г. И.
|заглавие = Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации
|издательство = Изд-во Ленингр. ун-та
|место = Л.
|год = 1983
|страниц = 188
}}
* {{книга
|автор = [[Рудин, Уолтер|Рудин У.]]
|заглавие = Основы математического анализа
|издание = 2-е
|место = М.
|издательство = «Мир»
|год = 1976
|страниц = 320
}}
* {{книга
|автор = [[Пискунов, Николай Семёнович|Пискунов Н. С.]]
|заглавие = Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов
|том = 2
|место = М.
|издательство = «Наука»
|год = 1964
|страниц = 312
}}
* {{книга
|автор = Зигмунд А.
|заглавие = Тригонометрические ряды
|том = 1
|место = М.
|издательство = «Мир»
|год = 1965
|страниц = 615
}}
* {{книга
|автор = [[Харди, Годфри Харолд|Харди Г. Х.]], {{нп4|Рогозинский, Вернер Вольфганг|Рогозинский В. В.||Werner Wolfgang Rogosinski}}
|заглавие = Ряды Фурье
|место = М.
|издательство = [[Физматгиз]]
|год = 1959
|страниц = 156
}}
* Проекторы Рисса и ряды Фурье по собственным функциям : учеб. пос. / ''[[Хромов, Август Петрович|А. П. Хромов]], В. А. Халова''; Саратовский ГУ им. Н. Г. Чернышевского. - Саратов : Изд-во Саратовского ун-та, 2009. ISBN 978-5-292-03945-7

== Ссылки ==
* {{cite web| url =http://ru.dsplib.org/content/fourier_series/fourier_series.html| title =Представление периодических сигналов. Ряд Фурье }}
* {{cite web| url =http://ru.dsplib.org/content/fourier_series_prop/fourier_series_prop.html| title =Некоторые свойства разложения периодических сигналов в ряд Фурье}}

{{внешние ссылки}}
{{Последовательности и ряды}}

[[Категория:Преобразование Фурье]]
[[Категория:Ряды]]
[[Категория:Гармонический анализ]]