Просмотр кода страницы Сверхсоставное число

[[Файл:Highly_composite_number_Cuisenaire_rods_6.png|мини|120пкс|Первые четыре сверхсоставных числа: 1, 2, 4, 6 и их разложения на делители]]
'''Сверхсоставное число''' — [[натуральное число]] с бо́льшим [[Делимость|числом делителей]], чем любое меньшее натуральное число.

== История ==
Термин был предложен [[Сриниваса Рамануджан Айенгор|Рамануджаном]] в 1915 году.
Однако, по мнению математика {{iw|Жан-Пьер Кахане|Жан-Пьера Кахане|en|Jean-Pierre Kahane}}, они были известны уже [[Платон]]у, который описал число [[5040 (число)|5040]] как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.<ref>{{citation|first=Jean-Pierre|last=Kahane|authorlink=Jean-Pierre Kahane|title=Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre|journal=Notices of the American Mathematical Society|date=February 2015|volume=62|issue=2|pages=136–140}}. </ref>

== Примеры ==
В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа ({{OEIS|id=A002182}}).
{| class="wikitable" style="text-align: left; margin-bottom: 10px;"
! номер
! Сверхсоставное
! разложение<br>
на простые
! число <br>
делителей
! разложение на <br>
[[праймориал]]ы
|-
| 1
| [[1 (число)|1]]
|
| 1
|
|-
| 2
| [[2 (число)|2]]
| <math>2</math>
| 2
| <math>2</math>
|-
| 3
| [[4 (число)|4]]
| <math>2^2</math>
| 3
| <math>2^2</math>
|-
| 4
| [[6 (число)|6]]
| <math>2\cdot 3</math>
| 4
| <math>6</math>
|-
| 5
| [[12 (число)|12]]
| <math>2^2\cdot 3</math>
| 6
| <math>2\cdot 6</math>
|-
| 6
| [[24 (число)|24]]
| <math>2^3\cdot 3</math>
| 8
| <math>2^2\cdot 6</math>
|-
| 7
| [[36 (число)|36]]
| <math>2^2\cdot 3^2</math>
| 9
| <math>6^2</math>
|-
| 8
| [[48 (число)|48]]
| <math>2^4\cdot 3</math>
| 10
| <math>2^3\cdot 6</math>
|-
| 9
| [[60 (число)|60]]
| <math>2^2\cdot 3\cdot 5</math>
| 12
| <math>2\cdot 30</math>
|-
| 10
| [[120 (число)|120]]
| <math>2^3\cdot 3\cdot 5</math>
| 16
| <math>2^2\cdot 30</math>
|-
| 11
| [[180 (число)|180]]
| <math>2^2\cdot 3^2\cdot 5</math>
| 18
| <math>6\cdot 30</math>
|-
| 12
| [[240 (число)|240]]
| <math>2^4\cdot 3\cdot 5</math>
| 20
| <math>2^3\cdot 30</math>
|-
| 13
| [[360 (число)|360]]
| <math>2^3\cdot 3^2\cdot 5</math>
| 24
| <math>2\cdot 6\cdot 30</math>
|-
| 14
| [[720 (число)|720]]
|<math>2^4\cdot 3^2\cdot 5</math>
| 30
| <math>2^2\cdot 6\cdot 30</math>
|-
| 15
| [[840 (число)|840]]
| <math>2^3\cdot 3\cdot 5\cdot 7</math>
| 32
| <math>2^2\cdot 210</math>
|-
| 16
| 1260
| <math>2^2\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
| 36
| <math>6\cdot 210</math>
|-
| 17
| 1680
| <math>2^4\cdot 3\cdot 5\cdot 7</math>
| 40
| <math>2^3\cdot 210</math>
|-
| 18
| 2520
| <math>2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
| 48
| <math>2\cdot 6\cdot 210</math>
|-
| 19
| [[5040 (число)|5040]]
| <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
| 60
| <math>2^2\cdot 6\cdot 210</math>
|-
| 20
| 7560
| <math>2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7</math>
| 64
| <math>6^2\cdot 210</math>
|-
| 21
| 10080
| <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
| 72
| <math>2^3\cdot 6\cdot 210</math>
|-
| 22
| 15120
| <math>2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7</math>
| 80
| <math>2\cdot 6^2\cdot 210</math>
|-
| 23
| 20160
| <math>2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7</math>
| 84
| <math>2^4\cdot 6\cdot 210</math>
|-
| 24
| 25200
| <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7</math>
| 90
| <math>2^2\cdot 30\cdot 210</math>
|-
| 25
| 27720
| <math>2^3\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
| 96
| <math>2\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
| 26
| 45360
| <math>2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7</math>
| 100
| <math>6^3\cdot 210</math>
|-
| 27
| 50400
| <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7</math>
| 108
| <math>2^3\cdot 30\cdot 210</math>
|-
| 28
| 55440
| <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
| 120
| <math>2^2\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
| 29
| 83160
| <math>2^3\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
| 128
| <math>6^2\cdot 2310</math>
|-
| 30
| 110880
| <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
| 144
| <math>2^3\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
| 31
| 166320
| <math>2^4\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
| 160
| <math>2\cdot 6^2\cdot 2310</math>
|-
| 32
| 221760
| <math>2^6\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
| 168
| <math>2^4\cdot 6\cdot 2310</math>
|-
| 33
| 277200
| <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11</math>
| 180
| <math>2^2\cdot 30\cdot 2310</math>
|-
| 34
| 332640
| <math>2^5\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
| 192
| <math>2^2\cdot 6^2\cdot 2310</math>
|-
| 35
| 498960
| <math>2^4\cdot 3^4\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
| 200
| <math>6^3\cdot 2310</math>
|-
| 36
| 554400
| <math>2^5\cdot 3^2\cdot 5^2\cdot 7\cdot 11</math>
| 216
| <math>2^3\cdot 30\cdot 2310</math>
|-
| 37
| 665280
| <math>2^6\cdot 3^3\cdot 5\cdot 7\cdot 11</math>
| 224
| <math>2^3\cdot 6^2\cdot 2310</math>
|-
| 38
| 720720
| <math>2^4\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7\cdot 11\cdot 13</math>
| 240
| <math>2^2\cdot 6\cdot 30030</math>
|}

== Разложение на простые ==
В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.

По [[Основная теорема арифметики|основной теореме арифметики]] каждое натуральное число <math>n</math> имеет единственное разложение на простые:
: <math>n = p_1^{c_1} \times p_2^{c_2} \times \cdots \times p_k^{c_k}\qquad (1)</math>
где <math>p_1 < p_2 < \cdots < p_k</math> простые, и степени <math>c_i</math> положительные целые числа.
Число делителей <math>d(n)</math> числа <math>n</math> можно выразить следующим образом:
: <math>d(n) = (c_1 + 1) \times (c_2 + 1) \times \cdots \times (c_k + 1).\qquad (2)</math>
Таким образом, для сверхсоставного числа <math>n</math> выполняется следующее
* Числа <math>p_1, p_2, \dots, p_k</math> являются первыми <math>k</math> простыми числами.
* Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть <math>c_1 \geq c_2 \geq \cdots \geq c_k</math>.
** Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением [[праймориал]]ов.
* За исключением двух особых случаев ''n'' = 4 И ''N'' = 36, последняя степень <math>c_k</math> равна единице.
В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.

Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными.
Например, 96 = 2<sup>5</sup> × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.

== Асимптотический рост и плотность ==
Существуют постоянные ''a'' и ''b'', обе больше чем 1, такие, что
: <math>\ln(x)^a \le Q(x) \le \ln(x)^b,</math>
Где <math>Q(x)</math> обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных <math>x</math>.

Первая часть неравенства была доказана [[Эрдёш, Пал|Палом Эрдёшем]] в 1944 году; вторую доказал {{iw|Николас, Жан-Луи|Жан-Луи Николас|en|Jean-Louis Nicolas}} в 1988 году.

Известно также, что
: <math>1{,}13862 < \liminf \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1{,}44</math>
и
: <math>\limsup \frac{\log Q(x)}{\log\log x} \le 1{,}71.</math>

== Свойства ==
* Все сверхсоставные числа, большие 6, являются [[Избыточные числа|избыточными]].

* Не все сверхсоставные числа являются [[Числа харшад|числами харшад]] по основанию 10;
** первый контрпример это {{num|245044800}}, это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.

== См. также ==
* [[Высокототиентное число]]
* [[Таблица делителей]]
* [[Функция Эйлера]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья |заглавие=Highly composite numbers |издание=Proc. London Math. Soc. (2) |том=14 |страницы=347—409 |doi=10.1112/plms/s2_14.1.347 |язык=und |автор=Ramanujan, S. |год=1915}} ([http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram15.pdf online] {{Wayback|url=http://ramanujan.sirinudi.org/Volumes/published/ram15.pdf |date=20140903125105 }})
* {{книга |год=2006 |заглавие=Handbook of number theory I |место=Dordrecht |издательство=[[Springer Science+Business Media|Springer-Verlag]] |страницы=45—46 |isbn=1-4020-4215-9 |язык=und}}
* {{статья |ссылка=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1944-04.pdf |заглавие=On highly composite numbers |издание=[[Лондонское математическое общество]] |том=19 |страницы=130—133 |doi=10.1112/jlms/19.75_part_3.130 |язык=und |автор=[[Эрдёш, Пал|Erdös, P.]] |год=1944}}
* {{статья |ссылка=https://www.renyi.hu/~p_erdos/1944-03.pdf |заглавие=On highly composite and similar numbers |издание=[[Transactions of the American Mathematical Society]] |том=56 |номер=3 |страницы=448—469 |doi=10.2307/1990319 |язык=en |автор=Alaoglu, L. |год=1944 }}
* {{статья |ссылка=http://math.univ-lyon1.fr/~nicolas/ramanujanNR.pdf |заглавие=Highly composite numbers |издание={{Нп3|The Ramanujan Journal|Ramanujan Journal||The Ramanujan Journal}} |том=1 |номер=2 |страницы=119—153 |doi=10.1023/A:1009764017495 |язык=en |автор={{Нп3|Ramanujan, Srinivasa|Ramanujan, Srinivasa||Srinivasa Ramanujan}} |год=1997 |тип=journal}} Annotated and with a foreword by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin.
* {{книга|автор=О. Оре|заглавие=Приглашение в теорию чисел|год=1980|серия=выпуск 3 серии «Библиотечка квант»|ссылка=http://ilib.mccme.ru/djvu/bib-kvant/ore.htm|место=М.|издательство=Наука|тираж=150000|страниц=128|isbn=}}

== Ссылки ==
* [https://web.archive.org/web/19980707133810/http://www.math.princeton.edu/~kkedlaya/math/hcn-algorithm.tex Алгоритм вычисления высшей степени составных чисел]
* [https://web.archive.org/web/19980707133953/http://www.math.princeton.edu/~kkedlaya/math/hcn10000.txt.gz Первые 10000 высшей степени составных чисел в качестве факторов]
* [http://wwwhomes.uni-bielefeld.de/achim/highly.html Flammenkamp ахим, первый 779674 ГКН с Сигма,Тау, факторы]
* [http://www.javascripter.net/math/calculators/highlycompositenumbers.htm Онлайн Сильно Составные Числа Калькулятор]

{{Числа по характеристикам делимости}}

[[Категория:Целочисленные последовательности]]