Сверхсоставное число

Материал из testwiki
Перейти к навигации Перейти к поиску
Первые четыре сверхсоставных числа: 1, 2, 4, 6 и их разложения на делители

Сверхсоставное число — натуральное число с бо́льшим числом делителей, чем любое меньшее натуральное число.

История

Термин был предложен Рамануджаном в 1915 году. Однако, по мнению математика Шаблон:Iw, они были известны уже Платону, который описал число 5040 как идеальное количество граждан города, так как 5040 имеет больше делителей, чем любое меньшее число.[1]

Примеры

В таблице представлены первые 38 сверхсоставных числа (Шаблон:OEIS).

номер Сверхсоставное разложение

на простые

число

делителей

разложение на

праймориалы

1 1 1
2 2 2 2 2
3 4 22 3 22
4 6 2⋅3 4 6
5 12 22⋅3 6 2⋅6
6 24 23⋅3 8 22⋅6
7 36 22⋅32 9 62
8 48 24⋅3 10 23⋅6
9 60 22⋅3⋅5 12 2⋅30
10 120 23⋅3⋅5 16 22⋅30
11 180 22⋅32⋅5 18 6⋅30
12 240 24⋅3⋅5 20 23⋅30
13 360 23⋅32⋅5 24 2⋅6⋅30
14 720 24⋅32⋅5 30 22⋅6⋅30
15 840 23⋅3⋅5⋅7 32 22⋅210
16 1260 22⋅32⋅5⋅7 36 6⋅210
17 1680 24⋅3⋅5⋅7 40 23⋅210
18 2520 23⋅32⋅5⋅7 48 2⋅6⋅210
19 5040 24⋅32⋅5⋅7 60 22⋅6⋅210
20 7560 23⋅33⋅5⋅7 64 62⋅210
21 10080 25⋅32⋅5⋅7 72 23⋅6⋅210
22 15120 24⋅33⋅5⋅7 80 2⋅62⋅210
23 20160 26⋅32⋅5⋅7 84 24⋅6⋅210
24 25200 24⋅32⋅52⋅7 90 22⋅30⋅210
25 27720 23⋅32⋅5⋅7⋅11 96 2⋅6⋅2310
26 45360 24⋅34⋅5⋅7 100 63⋅210
27 50400 25⋅32⋅52⋅7 108 23⋅30⋅210
28 55440 24⋅32⋅5⋅7⋅11 120 22⋅6⋅2310
29 83160 23⋅33⋅5⋅7⋅11 128 62⋅2310
30 110880 25⋅32⋅5⋅7⋅11 144 23⋅6⋅2310
31 166320 24⋅33⋅5⋅7⋅11 160 2⋅62⋅2310
32 221760 26⋅32⋅5⋅7⋅11 168 24⋅6⋅2310
33 277200 24⋅32⋅52⋅7⋅11 180 22⋅30⋅2310
34 332640 25⋅33⋅5⋅7⋅11 192 22⋅62⋅2310
35 498960 24⋅34⋅5⋅7⋅11 200 63⋅2310
36 554400 25⋅32⋅52⋅7⋅11 216 23⋅30⋅2310
37 665280 26⋅33⋅5⋅7⋅11 224 23⋅62⋅2310
38 720720 24⋅32⋅5⋅7⋅11⋅13 240 22⋅6⋅30030

Разложение на простые

В разложении сверхсоставных чисел участвуют самые маленькие простые множители, и при этом не слишком много одних и тех же.

По основной теореме арифметики каждое натуральное число n имеет единственное разложение на простые:

n=p1c1×p2c2×⋯×pkck(1)

где p1<p2<⋯<pk простые, и степени ci положительные целые числа. Число делителей d(n) числа n можно выразить следующим образом:

d(n)=(c1+1)×(c2+1)×⋯×(ck+1).(2)

Таким образом, для сверхсоставного числа n выполняется следующее

  • Числа p1,p2,…,pk являются первыми k простыми числами.
  • Последовательность степеней должна быть невозрастающей, то есть c1≥c2≥⋯≥ck.
    • Это свойство равносильно тому, что сверхсоставное число является произведением праймориалов.
  • За исключением двух особых случаев n = 4 И N = 36, последняя степень ck равна единице.

В частности 1, 4 и 36 являются единственными сверхсоставными квадратами.

Хотя описанные выше условия являются необходимыми, они не являются достаточными. Например, 96 = 25 × 3 удовлетворяет всем вышеперечисленным условиям и имеет 12 делителей, но не является сверхсоставным, поскольку существует меньшее число 60, которое имеет то же число делителей.

Асимптотический рост и плотность

Существуют постоянные a и b, обе больше чем 1, такие, что

ln⁡(x)a≤Q(x)≤ln⁡(x)b,

Где Q(x) обозначает число сверхсоставных чисел меньше либо равных x.

Первая часть неравенства была доказана Палом Эрдёшем в 1944 году; вторую доказал Шаблон:Iw в 1988 году.

Известно также, что

1,13862<lim inf⁡log⁡Q(x)log⁡log⁡x≤1,44

и

lim sup⁡log⁡Q(x)log⁡log⁡x≤1,71.

Свойства

  • Не все сверхсоставные числа являются числами харшад по основанию 10;
    • первый контрпример это Шаблон:Num, это число имеет сумму цифр 27, но на 27 не делится.

См. также

Примечания

Шаблон:Примечания

Литература

Ссылки

Шаблон:Числа по характеристикам делимости

  1. ↑ Шаблон:Citation.
Источник — https://ru.wiki.beta.math.wmflabs.org/w/index.php?title=Сверхсоставное_число&oldid=18524