Просмотр кода страницы Симплициальная категория

'''Симплициальная категория''' (также ''симпле́кс-категория'', ''ординальная категория'')<ref>Иногда ''симплициальной категорией'' называют [[симплициальный объект]] из [[Категория малых категорий|категории малых категорий]]. Кроме того, иногда таким же образом называют {{нп2|Симплициально обогащённая категория|симплициально обогащённые категории|en|simplicially enriched category}} — категории, [[Обогащённая категория|обогащённые]] над категорией [[симплициальное множество|симплициальных множеств]]. При наличии в контексте таких конструкций термина ''«симплициальная категория»'' для <math>\Delta</math> стараются избегать, используя альтернативные термины или только обозначение.</ref> — [[Категория (математика)|категория]] непустых конечных [[ординал]]ов, [[морфизм]]ы которой — [[Монотонная функция|монотонные функции]]. Играет важную роль в [[Алгебраическая топология|алгебраической топологии]]{{Sfn|Маклейн|2004|с=204}}, является основной для таких конструкций, как [[симплициальный объект]] и [[симплициальное множество]].

Симплициальная категория <math>\Delta</math> (иногда используется обозначение <math>\mathbf{Ord}</math><ref>Как <math>\mathbf{Ord}</math> часто также обозначается категория всех линейно упорядоченных множеств, в которой симплициальная категория является [[Подкатегория|полной подкатегорией]]</ref>) строится из объектов вида <math>[n] = \{0, 1, \dots, n \}</math>, где <math>n</math> — [[натуральное число]], и морфизмов <math>f: [n] \to [n']</math> таких, что из <math>i \leqslant j</math> следует <math>f(i) \leqslant f(j)</math>. Иными словами, объектами симплициальной категории являются конечные [[Порядковое число|порядковые числа]], а морфизмы — нестрого монотонные функции между ними. Порядковое число <math>[0]</math> является [[начальный объект|начальным объектом]] категории, а <math>[1]</math> — [[Терминальный объект|терминальным]].

== Свойства ==
Любой морфизм симплициальной категории может быть порождён композицией морфизмов<ref>{{Из|МЭ|заглавие=Симплициальный объект|автор=С. Н. Малыгин, М. М. Постников}}</ref> (<math>0 \leqslant i \leqslant n</math>):
: <math>\delta_i^n: [n-1] \to [n]</math>,
: <math>\sigma_i^n: [n+1] \to [n]</math>,
определённых следующим образом:
: <math>\delta_i^n(j) = \begin{cases}j,   & j < i \\
                                     j+1, & j \geqslant i
                        \end{cases}</math> (возрастающее [[Инъекция (математика)|инъективное]] отображение, «пропускающее» <math>i</math>),
: <math>\sigma_i^n(j) = \begin{cases}j,   & j \leqslant i \\
                                     j-1, & j > i
                        \end{cases}</math> (неубывающее [[Сюръекция|сюръективное]] отображение, принимающее значение <math>i</math> дважды).

Более того, для всякого <math>f \in \mathrm{Hom}_\Delta([m], [n])</math> единственно представление:
: <math>f = \delta_{i_s}^n \delta_{i_{s-1}}^{n-1} \dots \delta_{i_1}^{n-s+1} \sigma_{j_t}^{m-t} \dots \sigma_{j_2}^{m-2} \sigma_{j_1}^{m-1}</math>,
где <math>0 \leqslant i_1 < \dots < i_s \leqslant n</math>, <math>0 \leqslant j_t < \dots < j_1 < m</math>, <math>n = m - t +s</math>.

Эти морфизмы удовлетворяют следующим соотношениям:
: <math>\delta_j^{n+1} \delta_i^n = \delta_i^{n+1} \delta_{j-1}^n</math>, если <math>i < j</math>,
: <math>\sigma_j^n \sigma_i^{n+1} = \sigma_i^n \sigma_{j+1}^{i+1}</math>, если <math>i \leqslant j</math>,
: <math>\sigma_j^{n-1} \delta_i^n = \begin{cases}\delta_i^{n-1} \sigma_{j-1}^{n-2},   & i < j \\
                                                 \mathsf{Id}_{[n-1]},                 & i = j \, \vee \, i = j+1 \\
                                                 \delta_{i-1}^{n-1} \sigma_j^{n-2},   & i > j + 1
                                    \end{cases}</math>

Данные соотношения однозначно определяют морфизмы <math>\delta</math> и <math>\sigma</math>.

== Связанные определения ==
'''''Порядковое сложение''''' — [[бифунктор]] <math>+: \Delta \times \Delta \to \Delta</math>, определённый на порядковых числах как обычное сложение:
: <math>[n] + [n'] = [n + n']</math>,
а для морфизмов <math>f: [n] \to [n']</math> и <math>g: [m] \to [m']</math> по следующей схеме:
: <math>(f + g)(i) = \begin{cases}f(i), & 0 \leqslant i \leqslant n-1 \\
                                  n' + g(i-n), & n \leqslant i \leqslant n+m-1
                      \end{cases}</math>.

Симплициальная категория с порядковым сложением образует [[строго моноидальная категория|строго моноидальную категорию]].

{{Якорь|Пополненная симплициальная категория|Алгебраическая симплициальная категория}}В приложениях также используется '''''пополненная симплициальная категория''''' ({{lang-en|augmented simplicial category}}) <math>\Delta_+</math> — симплициальная категория, дополненная ординалом <math>[-1]=\varnothing</math>: <math>\Delta_+ = \Delta \cup [-1]</math>. Иногда пополненную симплициальную категорию называют '''''алгебраической симплициальной категорией''''', в этом случае <math>\Delta</math> называют ''топологической''.

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Категории для работающего математика|7}}
* {{книга
 | автор         = Габриель П., Цисман М.
 | заглавие      = Категории частных и теория гомотопий
 | оригинал      = Calculus of Fractions and Homotopy Theory
 | ссылка        = 
 | викитека      = 
 | ответственный = Перевод с английского [[Постников, Михаил Михайлович|М. М. Постникова]]
 | место         = М.
 | издательство  = [[Мир (издательство)|Мир]]
 | год           = 1971
 | страницы      = 69—72
 | страниц       = 296
 | тираж         = 
 | ref           = Габриель, Цисман
}}
[[Категория:Теория категорий]]