Симплициальная категория

Симплициальная категория (также симпле́кс-категория, ординальная категория) — категория непустых конечных ординалов, морфизмы которой — монотонные функции. Играет важную роль в алгебраической топологииШаблон:Sfn, является основной для таких конструкций, как симплициальный объект и симплициальное множество.

Симплициальная категория $\mathrm{\Delta }$ (иногда используется обозначение $𝐎𝐫𝐝$) строится из объектов вида $[n]=\{0,1,\dots ,n\}$, где $n$ — натуральное число, и морфизмов $f:[n]\to [n^{\prime }]$ таких, что из $i⩽j$ следует $f(i)⩽f(j)$. Иными словами, объектами симплициальной категории являются конечные порядковые числа, а морфизмы — нестрого монотонные функции между ними. Порядковое число $[0]$ является начальным объектом категории, а $[1]$ — терминальным.

Свойства

Любой морфизм симплициальной категории может быть порождён композицией морфизмов ($0⩽i⩽n$):

${\delta }_i^n:[n-1]\to [n]$,

${\sigma }_i^n:[n+1]\to [n]$,

определённых следующим образом:

${\delta }_i^n(j)=\{\begin{array}{cc}j,& j<i\\ j+1,& j⩾i\end{array}$ (возрастающее инъективное отображение, «пропускающее» $i$),

${\sigma }_i^n(j)=\{\begin{array}{cc}j,& j⩽i\\ j-1,& j>i\end{array}$ (неубывающее сюръективное отображение, принимающее значение $i$ дважды).

Более того, для всякого $f\in {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{\mathrm{\Delta }}([m],[n])$ единственно представление:

$f={\delta }_{i_s}^n{\delta }_{i_{s-1}}^{n-1}\dots {\delta }_{i_1}^{n-s+1}{\sigma }_{j_t}^{m-t}\dots {\sigma }_{j_2}^{m-2}{\sigma }_{j_1}^{m-1}$,

где $0⩽i_1<\dots <i_s⩽n$, $0⩽j_t<\dots <j_1<m$, $n=m-t+s$.

Эти морфизмы удовлетворяют следующим соотношениям:

${\delta }_j^{n+1}{\delta }_i^n={\delta }_i^{n+1}{\delta }_{j-1}^n$, если $i<j$,

${\sigma }_j^n{\sigma }_i^{n+1}={\sigma }_i^n{\sigma }_{j+1}^{i+1}$, если $i⩽j$,

${\sigma }_j^{n-1}{\delta }_i^n=\{\begin{array}{cc}{\delta }_i^{n-1}{\sigma }_{j-1}^{n-2},& i<j\\ {𝖨𝖽}_{[n-1]},& i=j\vee i=j+1\\ {\delta }_{i-1}^{n-1}{\sigma }_j^{n-2},& i>j+1\end{array}$

Данные соотношения однозначно определяют морфизмы $\delta$ и $\sigma$.

Связанные определения

Порядковое сложение — бифунктор $+:\mathrm{\Delta }\times \mathrm{\Delta }\to \mathrm{\Delta }$, определённый на порядковых числах как обычное сложение:

$[n]+[n^{\prime }]=[n+n^{\prime }]$,

а для морфизмов $f:[n]\to [n^{\prime }]$ и $g:[m]\to [m^{\prime }]$ по следующей схеме:

$(f+g)(i)=\{\begin{array}{cc}f(i),& 0⩽i⩽n-1\\ n^{\prime }+g(i-n),& n⩽i⩽n+m-1\end{array}$.

Симплициальная категория с порядковым сложением образует строго моноидальную категорию.

Шаблон:ЯкорьВ приложениях также используется пополненная симплициальная категория (Шаблон:Lang-en) ${\mathrm{\Delta }}_{+}$ — симплициальная категория, дополненная ординалом $[-1]=\varnothing$: ${\mathrm{\Delta }}_{+}=\mathrm{\Delta }\cup [-1]$. Иногда пополненную симплициальную категорию называют алгебраической симплициальной категорией, в этом случае $\mathrm{\Delta }$ называют топологической.

Литература

• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика
• Шаблон:Книга