Симплициальное множество

Симплициальное множество (в ранних источниках — полусимплициальный компле́кс) — теоретико-категорная конструкция, обобщающая понятие симплициального комплекса и в определённом смысле моделирующая понятие топологического пространства с «хорошими» свойствами: теория гомотопий для симплициальных множеств эквивалентна классической теории гомотопий для топологических пространств. Является чисто алгебраической конструкцией, обеспечивающей практически полный параллелизм с геометрическими объектами; в связи с этим считается одним из важнейших объектов в алгебраической топологии как с методологической точки зрения, так и с инструментальнойШаблон:Sfn.

С точки зрения теории категорий определяется как Шаблон:Iw из категории множеств, или, эквивалентно, как предпучок симплициальной категории в категорию множеств.

Определения и структура

Симплициальное множество $X$ — контравариантный функтор из симплициальной категории в категорию множеств: ${\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝐒𝐞𝐭$.

Так как всякий морфизм симплициальной категории порождается морфизмами ${\delta }_i^n:[n-1]\to [n]$ и ${\sigma }_i^n:[n+1]\to [n]$ ($0⩽i⩽n$), определёнными как:

${\delta }_i^n(j)=\{\begin{array}{cc}j,& j<i\\ j+1,& j⩾i\end{array}$,

${\sigma }_i^n(j)=\{\begin{array}{cc}j,& j⩽i\\ j-1,& j>i\end{array}$,

то симплициальное множество может быть сконструировано как система $n$-х слоёв $X_n$, связанных соответствующими (двойственными к $\delta$ и $\sigma$) отображениями $d_i^n:X_n\to X_{n-1}$ и $s_i^n:X_n\to X_{n+1}$, удовлетворяющих соотношениям:

$d_i^n{d}_j^{n+1}=d_{j-1}^n{d}_i^{n+1}$, если $i<j$,

$s_i^n{s}_j^{n-1}=s_{j+1}^n{s}_i^{n-1}$, если $i⩽j$,

$d_i^{n+1}{s}_j^n=\{\begin{array}{cc}{s}_{j-1}^{n-1}{d}_i^n,& i<j\\ {𝖨𝖽}_{X_n},& (i=j)\vee (i=j+1)\\ s_j^{n-1}{d}_{i-1}^n,& i>j+1\end{array}$.

Точки слоя $X_n$ называются $n$-мерными симплексами, притом точки слоя $X_0$ — вершинами, а слоя $X_1$ — рёбрами. Морфизмы $d_i^n$ называются операторами граней, а морфизмы $s_j^n$ — операторами вырождения.

Шаблон:ЯкорьСимплициальное отображение — (функторный) морфизм между симплициальными множествами $f:X\to X^{\prime }$, симплициальное отображение также может быть рассмотрено как совокупность слоёв $f_n:X_n\to {X_n}^{\prime }$, притом выполнено:

$d_i^n{f}_n=f_{n-1}{d}_i^n$ ($0⩽i⩽n$),

$s_i^n{f}_n=f_{n+1}{s}_i^n$ ($0⩽i⩽n$).

Шаблон:ЯкорьСимплициальное множество $X$ называется симплициальным подмножеством $X^{\prime }$, если все слои $f_n:X_n\to {X_n}^{\prime }$ симплициального отображения $f:X\to X^{\prime }$ инъективны; в этом случае операторы граней и операторы вырождения в $X$ являются сужениями соответствующих операторов для $X^{\prime }$.

Шаблон:ЯкорьСимплициальное фактормножество — конструкция, получаемая послойной факторизацией симплициального множества, то есть $X/\sigma$ — набор слоёв $X_n/\sigma$, притом операторы граней и вырождения слоёв-фактормножеств индуцируются соответствующими операторами множества $X$.

Симплициальные множества со всевозможными симплициальными отображениями между ними образуют категорию ${𝐒𝐞𝐭}^{{\mathrm{\Delta }}^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$.

Свойства

Категория симплициальных множеств допускает прямые и обратные пределы, вычисляемые послойно. В частности, для любых симплициальных множеств $X$ и $X^{\prime }$ определены прямое произведение $X\times X^{\prime }$ и прямая сумма (раздельное объединение) $X\oplus X^{\prime }$, притом для всех слоёв:

$(X\times X^{\prime }{)}_n=X_n\times X{\text{'}}_n$,

$(X\oplus X^{\prime }{)}_n=X_n\oplus X{\text{'}}_n$.

Косимплициальное множество

Также используется двойственное понятие косимплициального множества — функтора из симплициальной категории в категорию множеств: $\mathrm{\Delta }\to 𝐒𝐞𝐭$. Косимплициальные множества имеют аналогичную послойную структуру с операторами граней и вырождения (двойственных к соответствующим операторам симплициальных множеств) и образуют категорию ${𝐒𝐞𝐭}^{\mathrm{\Delta }}$.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:МатЭнц
• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика