Предпучок (теория категорий)

Предпучок в теории категорий — конструкция, обобщающая топологическое понятие предпучка.

Формально, предпучок $F$ на категории $C$ со значениями в категории $V$ — это функтор $F:C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}\to 𝐕$, то есть контравариантный функтор из $C$ в $V$. Чаще всего рассматривают предпучки со значениями в категории множеств. Если $C$ — частично упорядоченное множество открытых множеств топологического пространства по включению, то категорный предпучок задаёт предпучок на топологическом пространстве в смысле, используемом в теории пучков.

Морфизмы между предпучками можно определить как естественные преобразования функторов. Это позволяет рассмотреть категорию функторов $\hat{C}={𝐒𝐞𝐭}^{C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$. Функтор в $\hat{C}$ называют Шаблон:Iw.

Предпучок, естественно изоморфный функтору Hom $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(-,A)$ для некоторого объекта $A$ категории $C$ называется представимым предпучком.

Широко используемый пример предпучка в теоретико-категорном смысле — симплициальное множество, являющееся предпучком на симплициальной категории $\mathrm{\Delta }$ со значениями в категории множеств.

Свойства

• Если $C$ — малая категория, то категория пучков на ней $\hat{C}={𝐒𝐞𝐭}^{C^{\mathrm{o}\mathrm{p}}}$ является декартово замкнутой, и даже топосом. Также она является полной и кополной.
• Локально малая категория допускает полное и унивалентное вложение в категорию пучков на ней со значениями в $𝐒𝐞𝐭$ — вложение Йонеды.

Литература

• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика
• Saunders Mac Lane, Ieke Moerdijk, «Sheaves in Geometry and Logic» (1992) Springer-Verlag — ISBN 0-387-97710-4