Подкатегория

Подкатегория в теории категорий — категория $𝒮$, объекты которой являются также объектами заданной категории $𝒞$ и морфизмы которой являются также морфизмами в $𝒞$, с теми же тождественными морфизмами и правилами композиции.

Формально подкатегория $𝒮$ для категории $𝒞$ задаётся при помощи:

• подкласса объектов $\mathrm{O}\mathrm{b}(𝒮)\subseteq \mathrm{O}\mathrm{b}(𝒞)$,
• подкласса морфизмов $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(𝒮)\subseteq \mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(𝒞)$

таких, что выполняются следующие условия:

• для каждого $X\in \mathrm{O}\mathrm{b}(𝒮)$ тождественный морфизм ${\mathrm{i}\mathrm{d}}_X$ принадлежит $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(𝒮)$,
• для каждого морфизма $f:X\to Y$ в $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(𝒮)$ его прообраз $X$ и образ $Y$ лежат в $\mathrm{O}\mathrm{b}(𝒮)$,
• для каждой пары морфизмов $f$, $g$ в $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(𝒮)$ их композиция $f\circ g$ лежит в $\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}(𝒮)$, если она определена в $𝒞$.

Шаблон:ЯкорьИз этих условий следует, что $𝒮$ является категорией. Существует очевидный унивалентный функтор $I:𝒮⟶𝒞$, называемый функтором вложения.

Шаблон:ЯкорьПодкатегория $𝒮$ называется полной подкатегорией $𝒞$, если для каждой пары объектов $X,Y\in \mathrm{O}\mathrm{b}(𝒮)$ выполнено ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒮}(X,Y)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(X,Y)$.

Шаблон:ЯкорьПодкатегория $𝒮$ категории $𝒞$ называется замкнутой относительно изоморфизма, если любой изоморфизм $k:X\to Y$ в $𝒞$, такой что $Y$ принадлежит $𝒮$, также принадлежит $𝒮$. Замкнутая относительно изморфизма полная подкатегория называется строго полной.

Шаблон:ЯкорьПодкатегория $𝒮$ — широкая, если она содержит все объекты $𝒞$. В частности, единственная широкая полная подкатегория категории $𝒞$ — сама $𝒞$.

Отражающая подкатегория — подкатегория, функтор вложения которой имеет левый сопряжённый.

Литература

• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика