Унивалентный функтор

Унивалентный функтор (строгий функтор) — функтор, который инъективен на каждом множестве морфизмов с фиксированными образом и прообразом. Полный функтор — двойственное понятие — функтор, который сюръективен на каждом множестве морфизмов с фиксированным образом и прообразом.

Соответственно, функтор $F:𝒞⟶𝒟$ между локально малыми категориями $𝒞$ и $𝒟$:

• унивалентнен, если функция $F_{X,Y}$ инъективна,
• полон, если $F_{X,Y}$ сюръективна,
• вполне унивалентен, если $F_{X,Y}$ биективна

для каждой пары $X,Y$ из $𝒞$ ($F_{X,Y}:{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒞}(X,Y)\to {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}}_{𝒟}(F(X),F(Y))$ — срез функтора на морфизмы $X\to Y$).

Унивалентный функтор не обязательно инъективен на объектах категории $𝒞$, поэтому образ вполне унивалентного функтора не обязан быть категорией, изоморфной $𝒞$. Аналогично, полный функтор не обязательно сюръективен на объектах. Однако вполне унивалентный функтор инъективен на объектах с точностью до изоморфизма, то есть если $F:𝒞⟶𝒟$ является вполне унивалентным и $F(x)\cong F(y)$, то $x\cong y$ (в этом случае говорят, что функтор $F$ отражает изоморфизмы).

Любой унивалентный функтор отражает мономорфизмы и эпиморфизмы. Из этого следует, что любой унивалентный функтор из сбалансированной категории отражает изоморфизмы.

Пример унивалентного функтора — забывающий функтор для категории групп $U:𝐆𝐫𝐩⟶𝐒𝐞𝐭$: гомоморфизм групп однозначно определяется функцией на множествах-носителях. (Категория с унивалентным функтором в $𝐒𝐞𝐭$ называется конкретной категорией.) Функтор, вкладывающий категорию абелевых групп $𝐀𝐛$ в категорию групп $𝐆𝐫𝐩$, вполне унивалентный.

Литература

• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика
• Шаблон:Книга