Просмотр кода страницы Случайное компактное множество

{{плохое оформление|дата=2021-06-30}}
'''Случайное компактное множество''' — [[случайная величина]] со значениями в [[Компактное множество|компактных множествах]]. Случайные компактные множества используются при изучении [[аттрактор]]ов [[Случайная величина|случайных]] [[Динамическая система|динамических систем]].

== Определение ==
Пусть <math>\mathcal{K}</math> — [[множество]] всех [[Компактное пространство|компактных]] подмножеств <math>\mathbb{R}^2</math>. На <math>\mathcal{K}</math> можно определить [[хаусдорфова метрика|метрику Хаусдорфа]] <math>h</math>:
:<math>h(K_1, K_2) = \inf\left\{\varepsilon > 0 : K_1 \subseteq K_2 \bigoplus B(0,\varepsilon),K_2 \subseteq K_1 \bigoplus B(0, \varepsilon)\right\}.</math>
С такой метрикой <math>h</math> множество <math>\mathcal{K}</math> становится [[Полное метрическое пространство|полным]] [[Сепарабельное пространство|сепарабельным]] [[Метрическое пространство|метрическим пространством]]. Соответствующие [[Открытое множество|открытые]] подмножества порождают [[борелевская алгебра|борелевскую <math>\sigma</math>-алгебру]] <math>\mathfrak{B}_K</math> множества <math>\mathcal{K}</math>.

Тогда '''случайное компактное множество''' — это [[Измеримая функция|измеримая]] [[Функция (математика)|функция]] из некоторого [[вероятностное пространство|вероятностного пространства]] <math>(\Omega, \mathcal{F}, \mathbf{P})</math> в [[измеримое пространство]] <math>(\mathcal{K}, \mathfrak{B}_K)</math>. Случайные компактные множества в этом смысле — то же, что случайные [[Замкнутое множество|замкнутые множества]] у Матерона<ref>Матерон Ж. (1978) [[Случайные множества]] и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.</ref>. Следовательно, их [[Распределение вероятностей|распределение]] задается [[Вероятность|вероятностями]]
:<math>\mathbf{P}(X \cap K = \emptyset), \ \ \ K \in \mathcal{K}.</math>
Распределение случайного компактного [[выпуклое множество|выпуклого множества]] также задается системой всех вероятностей включения <math>\mathbf{P}(X \subset K).</math>

== Связанные определения ==
* Для <math>K=\{x\}</math> определена вероятность <math> \mathbf{P}(x \in X) </math>, которая удовлетворяет соотношению <math> \mathbf{P}(x \in X) = 1-\mathbf{P}(x \not\in X).</math> Тогда можно задать ''функцию покрытия'' <math> p_X </math> формулой <math> p_X(x) = \mathbf{P}(x \in X), \; x \in \mathbb{R}^2.</math> Функция покрытия принимает значения между <math> 0 </math> и <math> 1 </math> и может интерпретироваться как [[математическое ожидание]] [[индикаторная функция|индикаторной функции]] <math>\mathbf{1}_X(x):</math> <math> p_X(x) = \mathbf{E} \mathbf{1}_X(x).</math>
* Множество <math> b_X </math> всех <math> x \in \mathbb{R}^2 </math> с <math> p_X(x)>0 </math> называется ''базой'' <math> X. </math>
* Множество <math> k_X </math> всех <math> x \in \mathbb{R}^2 </math> с <math> p_X(x)=1 </math> называется ''ядром'', ''множеством фиксированных точек'', или ''существенным минимумом'' <math> e(X) </math>. Если <math> X_1, X_2, \ldots </math> — это последовательность [[Независимые одинаково распределённые случайные величины|независимых одинаково распределенных]] случайных компактных множеств, то [[почти наверное]] <math> \bigcap_{i=1}^\infty X_i = e(X) </math> и <math> \bigcap_{i=1}^\infty X_i </math> [[Сходимость почти всюду|сходится почти наверное]] к <math> e(X). </math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* Матерон Ж. (1978) [[Случайные множества]] и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
* Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.
{{нет сносок|дата=2021-06-30}}
{{оформить литературу|дата=2021-06-30}}

[[Категория:Теория вероятностей]]