Случайное компактное множество

Шаблон:Плохое оформление Случайное компактное множество — случайная величина со значениями в компактных множествах. Случайные компактные множества используются при изучении аттракторов случайных динамических систем.

Определение

Пусть $𝒦$ — множество всех компактных подмножеств ${ℝ}^2$. На $𝒦$ можно определить метрику Хаусдорфа $h$:

$h(K_1,K_2)=\inf \{\epsilon >0:K_1\subseteq K_2⨁B(0,\epsilon ),K_2\subseteq K_1⨁B(0,\epsilon )\}.$

С такой метрикой $h$ множество $𝒦$ становится полным сепарабельным метрическим пространством. Соответствующие открытые подмножества порождают борелевскую $\sigma$-алгебру ${𝔅}_K$ множества $𝒦$.

Тогда случайное компактное множество — это измеримая функция из некоторого вероятностного пространства $(\mathrm{\Omega },ℱ,𝐏)$ в измеримое пространство $(𝒦,{𝔅}_K)$. Случайные компактные множества в этом смысле — то же, что случайные замкнутые множества у Матерона. Следовательно, их распределение задается вероятностями

$𝐏(X\cap K=\mathrm{\varnothing }),K\in 𝒦.$

Распределение случайного компактного выпуклого множества также задается системой всех вероятностей включения $𝐏(X\subset K).$

Связанные определения

• Для $K=\{x\}$ определена вероятность $𝐏(x\in X)$, которая удовлетворяет соотношению $𝐏(x\in X)=1-𝐏(x\in ̸X).$ Тогда можно задать функцию покрытия $p_X$ формулой $p_X(x)=𝐏(x\in X),x\in {ℝ}^2.$ Функция покрытия принимает значения между $0$ и $1$ и может интерпретироваться как математическое ожидание индикаторной функции ${\mathrm{𝟏}}_X(x):$ $p_X(x)=𝐄{\mathrm{𝟏}}_X(x).$
• Множество $b_X$ всех $x\in {ℝ}^2$ с $p_X(x)>0$ называется базой $X.$
• Множество $k_X$ всех $x\in {ℝ}^2$ с $p_X(x)=1$ называется ядром, множеством фиксированных точек, или существенным минимумом $e(X)$. Если $X_1,X_2,\dots$ — это последовательность независимых одинаково распределенных случайных компактных множеств, то почти наверное $\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_i=e(X)$ и $\bigcap _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{X}_i$ сходится почти наверное к $e(X).$

Литература

• Матерон Ж. (1978) Случайные множества и интеrральная геометрия, пер. с англ., М.: Мир.
• Stoyan D., and H.Stoyan (1994) Fractals, Random Shapes and Point Fields. John Wiley & Sons, Chichester, New York.