Просмотр кода страницы Соотношения Бриджмена (термодинамика)

{{соотношения Бриджмена}}
'''Соотношения Бриджмена''' представляют собой базовый набор уравнений для [[Термодинамика|термодинамических]] производных. Носят имя американского физика [[Бриджмен, Перси Уильямс|Перси Уильямса Бриджмена]].

Соотношения связывают [[термодинамические величины]]: [[Температура|температуру]], ''Т'', [[давление]], ''Р'',  объем, ''V'', [[Энтропия|энтропию]], ''S'' и четыре наиболее распространенных [[термодинамические потенциалы|термодинамических потенциала]], а именно:
: {|
|[[Внутренняя энергия]]
|''U''
|-
|[[Энтальпия]]
|''H''
|-
|[[Свободная энергия Гельмгольца|Свободная энергия]] (энергия Гельмгольца{{sfn|Термодинамика. Основные понятия. Терминология. Буквенные обозначения величин|1984|с =13}})
|''F''
|-
|[[Энергия Гиббса]]{{sfn|Термодинамика. Основные понятия. Терминология. Буквенные обозначения величин|1984|с =13}}. 
|''G''
|}

Для простой системы, в которой число частиц постоянно, уравнения Бриджмена выражают '''все''' ''термодинамические производные'' (то есть первые и вторые производные термодинамических потенциалов), через <math>P, T, V, S</math>, а также через три термодинамические характеристики среды:

: {|
|[[Теплоёмкость|Теплоемкость (при постоянном давлении)]]
|<math>C_P</math>
|-
|[[Тепловое расширение|Коэффициент теплового расширения]]
|<math>\alpha</math>
|-
|[[Сжимаемость|Изотермическая сжимаемость]]
|<math>\beta_T</math>
|}

== Выражение термодинамических производных через уравнения Бриджмена ==
Многие термодинамические уравнения выражаются через частные производные термодинамических величин. Из восьми связанных между собой величин: <math>T, P,  V, S, U, H, F, G, </math> можно образовать 336{{#tag:ref|Это число определяется количеством сочетаний из восьми по три{{sfn|Невинский В. В., Элементы равновесной термодинамики|2005|с =176}}{{sfn|Трайбус М., Термостатика и термодинамика| 1970|с =212}}, поскольку для каждой из производных выбирают три переменные: зависимую, независимую и фиксированную:   <math>\frac{8!}{(8-3)!} = 336</math>|group=K}} частных производных типа <math>\Bigl(\frac{\partial y}{\partial x}\Bigr)_z</math><ref group=K>В термодинамике при написании частных производных внизу справа указывают переменные, который при вычислении производной считают постоянным. Причина в том, что в термодинамике для одной и той же функции используют различные наборы независимых переменных, которые, во избежание неопределённости, приходится перечислять.</ref>. По предложению [[Бриджмен, Перси Уильямс|П. У. Бриджмена]]  все эти производные выражаются через параметры состояния  <math>T, P, V, S </math> и набор из всего лишь трёх производных, которые могут быть выражены через экспериментально определяемые величины{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|2002|с =123}}, а именно, теплоёмкость при постоянном давлении <math>C_P</math>{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|2002|с =123}}:
: <math> C_P \equiv \left ( \frac{ \partial H}{ \partial T} \right )_P = T \left( \frac{ \partial S}{ \partial T} \right )_P ,</math>
производная объёма по температуре при постоянном давлении, которую можно выразить через коэффициент теплового расширения<math>\alpha</math>{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|2002|с =124}}:
: <math> \left ( \frac{ \partial V }{ \partial T } \right )_P = \alpha V . </math>
и, наконец, производная объёма по давлению при постоянной температуре, которая может быть выражена через изотермическую сжимаемость <math>\beta_t</math>{{sfn|Мюнстер А., Химическая термодинамика|2002|с =124}}:
: <math> \left ( \frac{ \partial V }{ \partial P } \right )_T = - \beta_t V. </math>
Для применения метода Бриджмена к выводу выражения, например, для теплоемкости при постоянном объёме:
:<math>C_V=\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V,</math>
которая является частной производной внутренней энергии по температуре при постоянном объёме, искомая производная записывается в виде отношения двух величин:
:<math>\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=\frac{(\partial U)_V}{(\partial T)_V},</math>
выражения для которых берутся из приведённой ниже и выделенной цветом таблице: {{Eqref|B15|}} для числителя:
:<math>(\partial U)_V=C_P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T+T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)^2_P</math>
и {{Eqref|B8}} для знаменателя:
:<math>(\partial T)_V=\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T .</math>
Их отношение даёт искомое выражение для <math>C_V</math>.
: <math>C_V =\left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V=\frac{(\partial U)_V}{(\partial T)_V}=\frac{({\rm B}15)}{-({\rm B}8)}=C_P + T \frac{\left[\left( \frac{ \partial V}{ \partial T} \right )_P \right ]^2}
{\left( \frac{ \partial V}{ \partial P} \right )_T}
. </math>
<small>Приложение полученного результата к 1 [[Моль (единица измерения)|молю]] [[Идеальный газ|идеального газа]] даёт [[соотношение Майера]]: <math>C_P-C_V=R. </math></small>

Описанный метод выражения  частной производной через отношение двух по отдельности табулируемых выражений был предложен Бриджменом{{sfn|Bridgman|1914}} (на русском языке его описание имеется в книге Льюиса и Рендалла{{sfn|Льюис и Рендалл|1936}})

== Таблица уравнений Бриджмена ==
{{EF|:|<math> (\partial T)_P=-(\partial P)_T=1</math>|style=blue|ref=B1}}
{{EF|:|<math> (\partial V)_P=-(\partial P)_V=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>|style=blue|ref=B2}}
{{EF|:|<math> (\partial S)_P=-(\partial P)_S=\frac{C_p}{T}</math>|style=blue|ref=B3}}
{{EF|:|<math> (\partial U)_P=-(\partial P)_U=C_P-P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>|style=blue|ref=B4}}
{{EF|:|<math> (\partial H)_P=-(\partial P)_H=C_P</math>|style=blue|ref=B5}}
{{EF|:|<math> (\partial G)_P=-(\partial P)_G=-S</math>|style=blue|ref=B6}}
{{EF|:|<math> (\partial F)_P=-(\partial P)_F=-S-P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>|style=blue|ref=B7}}
{{EF|:|<math> (\partial V)_T=-(\partial T)_V=-\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T</math>|style=blue|ref=B8}}
{{EF|:|<math> (\partial S)_T=-(\partial T)_S=\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>|style=blue|ref=B9}}
{{EF|:|<math> (\partial U)_T=-(\partial T)_U=T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P+P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T</math>|style=blue|ref=B10}}
{{EF|:|<math> (\partial H)_T=-(\partial T)_H=-V+T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>|style=blue|ref=B11}}
{{EF|:|<math> (\partial G)_T=-(\partial T)_G=-V</math>|style=blue|ref=B12}}
{{EF|:|<math> (\partial F)_T=-(\partial T)_F=P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T</math>|style=blue|ref=B13}}
{{EF|:|<math> (\partial S)_V=-(\partial V)_S=\frac{C_P}{T}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T+\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P^2</math>|style=blue|ref=B14}}
{{EF|:|<math> (\partial U)_V=-(\partial V)_U=C_P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T+T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P^2</math>|style=blue|ref=B15}}
{{EF|:|<math> (\partial H)_V=-(\partial V)_H=C_P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T+T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P^2-V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>|style=blue|ref=B16}}
{{EF|:|<math> (\partial G)_V=-(\partial V)_G=-V\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P-S\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T</math>|style=blue|ref=B17}}
{{EF|:|<math> (\partial F)_V=-(\partial V)_F=-S\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T</math>|style=blue|ref=B18}}
{{EF|:|<math> (\partial U)_S=-(\partial S)_U=\frac{PC_P}{T}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P^2</math>|style=blue|ref=B19}}
{{EF|:|<math> (\partial H)_S=-(\partial S)_H=-\frac{VC_P}{T}</math>|style=blue|ref=B20}}
{{EF|:|<math> (\partial G)_S=-(\partial S)_G=-\frac{VC_P}{T}+S\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>|style=blue|ref=B21}}
{{EF|:|<math> (\partial F)_S=-(\partial S)_F=\frac{PC_P}{T}\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P^2+S\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>|style=blue|ref=B22}}
{{EF|:|<math> (\partial H)_U=-(\partial U)_H=-VC_P+PV\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P-PC_P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T-PT\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P^2</math>|style=blue|ref=B23}}
{{EF|:|<math> (\partial G)_U=-(\partial U)_G=-VC_P+PV\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P+ST\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P+SP\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T</math>|style=blue|ref=B24}}
{{EF|:|<math> (\partial F)_U=-(\partial U)_F=P(C_P+S)\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T+PT\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P^2+ST\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>|style=blue|ref=B25}}
{{EF|:|<math> (\partial G)_H=-(\partial H)_G=-V(C_P+S)+TS\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>|style=blue|ref=B26}}
{{EF|:|<math> (\partial F)_H=-(\partial H)_F=-\left[S+P\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P\right]\left[V-T\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P\right]+PC_P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T</math>|style=blue|ref=B27}}
{{EF|:|<math> (\partial F)_G=-(\partial G)_F=-S\left[V+P\left(\frac{\partial V}{\partial P}\right)_T\right]-PV\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>|style=blue|ref=B28}}

== Применение якобианов для преобразования частных производных ==
Наиболее изящный и универсальный<ref group=K>Расплатой за универсальность служит некоторое повышение громоздкости вычислений.</ref> метод замены переменных в термодинамических формулах, предложенный Н. Шоу (''метод [[якобиан]]ов'', 1935{{sfn|Shaw A. N., Derivation of Thermodynamical Relations|1935}}), основан на использовании ''функциональных определителей [[Якоби, Карл Густав Якоб|Якоби]]''. В следующем разделе метод якобианов применён к выводу соотношений Бриджмена.

''Якобиан второго порядка'' <math>\frac{D(u,v)}{D(x,y)}</math> представляет собой символическую запись следующего [[определитель|определителя]]{{sfn|Аминов Л. К., Термодинамика и статистическая физика|2015|с =63}}{{sfn|Бокштейн Б.С. и др., Физическая химия|2012|с =254}}{{sfn|Ансельм А. И., Основы статистической физики и термодинамики| 1973|с =416}}{{sfn|Самойлович А. Г., Термодинамика и статистическая физика|1955|с =75—76}}:
{{EF|:|<math>\frac{D(u,v)}{D(x,y)} \equiv \begin{vmatrix} \Bigl(\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)_y & \Bigl(\frac{\partial u}{\partial y}\Bigr)_x \\ \Bigl(\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr)_y & \Bigl(\frac{\partial v}{\partial y}\Bigr)_x \end{vmatrix} = \Bigl(\frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)_y \Bigl(\frac{\partial v}{\partial y}\Bigr)_x - \Bigl(\frac{\partial v}{\partial x}\Bigr)_y \Bigl(\frac{\partial u}{\partial y}\Bigr)_x . </math>|ref=J1}}
Применение якобианов для замены одних частных производных другими при переходе от исходных независимых переменных <math>x,y</math> к новым независимым переменным <math>u,v</math> основаны на следующих свойствах якобианов{{sfn|Аминов Л. К., Термодинамика и статистическая физика|2015|с =63}}{{sfn|Бокштейн Б.С. и др., Физическая химия|2012|с =254}}{{sfn|Ансельм А. И., Основы статистической физики и термодинамики| 1973|с =416}}{{sfn|Самойлович А. Г., Термодинамика и статистическая физика|1955|с =75—76}}:
{|style="width: 100%"
|{{EF|:|<math> \Bigl( \frac{\partial u}{\partial x}\Bigr)_y = \frac{D(u,y)}{D(x,y)} ; </math>}}
|style="text-align: right"|(любую частную производную можно выразить посредством якобиана)
|}
{{EF|:|<math>\frac{D(u,v)}{D(x,y)} = - \frac{D(v,u)}{D(x,y)} ; </math>}}
{{EF|:|<math>\frac{D(u,v)}{D(x,y)} = 1\left/ \frac{D(x,y)}{D(u,v)}\right. ; </math>}}
{|style="width: 100%"
|{{EF|:|<math>\frac{D(u,v)}{D(x,y)} = \frac{D(u,v)}{D(w,z)} \frac{D(w,z)}{D(x,y)} . </math>}}
|style="text-align: left"|(переход от независимых переменных <math>x,y</math> к независимым переменным <math>u,v</math> посредством использования промежуточных переменных <math>w,z</math>)
|}
Формально якобиан ведёт себя как дробь, что позволяет, например, «сокращать» одинаковые величины в числителе и знаменателе{{sfn|Новиков И. И., Термодинамика|2009|с =141}}. Обращение якобиана в ноль или в бесконечность означает, что входящие в него переменные не являются независимыми{{sfn|Новиков И. И., Термодинамика|2009|с =141}}.

== Вывод соотношений Бриджмена ==
Выделенная цветом таблица (B1—B28) основана на перечисленных выше свойствах якобианов, а именно на возможности преобразовать любую термодинамическую производную к независимым переменным <math>T,P</math> (температура и давление):
: <math>\left(\frac{\partial x}{\partial y}\right)_z=\frac{D(x,z)}{D(y,z)}=\frac{D(x,z)}{D(T,P)}\frac{D(T,P)}{D(y,z)}=\frac{D(x,z)}{D(T,P)}/\frac{D(y,z)}{D(T,P)}=\frac{(\partial x)_z}{(\partial y)_z},</math>
где уже использованное ранее обозначение вида <math>(\partial x)_y</math> означает якобиан от переменных <math>x,y</math> к переменным <math>T,P</math>:
: <math>(\partial x)_y=\frac{D(x,y)}{D(T,P)}. </math>

{{Hider|  title = ''Пояснения к выводу соотношений Бриджмена'' |  content = 
<!------------------------------------------------------------------------------------->
Таким образом, вместо вычисления 336 термодинамических производных достаточно затабулировать выражения для <math>\frac{8!}{(8-2)!}=56</math> якобианов <math>(\partial x)_y, </math> число которых равно числу пар <math>x,y</math> из восьми термодинамических переменных. Поскольку в силу приведённого выше свойства якобианов <math>(\partial y)_x=-(\partial x)_y,</math> достаточно выразить лишь 28=56/2 якобианов, а остальные 28 даются изменением порядка переменных с заменой знака. Именно так устроена таблица (B1—B28).

Далее перечисляются все соотношения, позволяющие получить выражения (B1—B28). За исключением элементарных выражений (B1) все остальные якобианы непосредственно выражаются по формуле определителя через термодинамические производные по <math>T,\,P</math>: то есть производные <math> \left(\frac{\partial x}{\partial T}\right)_P ,\left(\frac{\partial x}{\partial P}\right)_T ,</math> где в качестве <math>x</math> может фигурировать любая из вышеперечисленных восьми термодинамических величин. Производные от <math>T,\,P</math> по <math>T,\,P</math> равны единице или нулю, производные от объёма выражаются через изотермическую сжимаемость и коэффициент теплового расширения, включённые в состав определяющих характеристик (считаются известными и не вычисляются). Производная от энтропии по температуре выражается через теплоёмкость при постоянном давлении:
: <math> \left( \frac{ \partial S}{ \partial T} \right )_P =\frac{C_P}{T}. </math>

Из выражения <math> dG = -SdT + VdP </math> для дифференциала [[Энергия Гиббса|энергии Гиббса]]  выводятся её производные{{sfn|Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1|2001|loc=Уравнение (15.8)}}:
: <math> \left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_P = -S , \qquad \left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_T = V</math>
и четвёртое [[Соотношения Максвелла (термодинамика)|соотношение Максвелла]]{{sfn|Беляев Н. М., Термодинамика|1987|с =127}}{{sfn|Maxwell J. Clerk, Theory of Heat|1871|с =167|loc=Уравнение (1)}}{{sfn|Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1|2001|loc=Уравнение (16.5)}}, являющееся следствием из равенства смешанных производных энергии Гиббса, <math> \frac{\partial}{\partial P}\left(\frac{\partial G}{\partial T}\right)_P = \frac{\partial}{\partial T}\left(\frac{\partial G}{\partial P}\right)_T,  </math>  выражает производную от энтропии по давлению:
: <math>\left(\frac{\partial S}{\partial P}\right)_T = -\left(\frac{\partial V}{\partial T}\right)_P</math>
Все остальные термодинамические потенциалы выражаются через энергию Гиббса: <math>U=G+TS-PV</math>, <math>H=G+TS</math>, <math>F=G-PV</math>, и производные от них выражаются с помощью обычных правил дифференцирования через уже полученные термодинамические производные.
<!------------------------------------------------------------------------------------->
  |frame-style = border: 1px solid rgb(200,200,200); |
  title-style = color: black; background-color: rgb(255,255,221); font-weight: bold; text-align: left;| 
  content-style = color: black; background-color: white; text-align: left; |
  hidden=1
}}

== См. также ==

* [[Соотношения Максвелла (термодинамика)]]

== Комментарии ==
{{примечания|group=K}}

== Примечания ==
{{примечания|30em}}

== Литература ==

* {{статья|автор=[[Бриджмен, Перси Уильямс|Bridgman, P. W.]]|год=1914|заглавие=A Complete Collection of Thermodynamic Formulas|ссылка=https://archive.org/details/sim_physical-review_1914-04_3_4/page/273|издание=[[Physical Review]]|тип=журнал|том=3|выпуск=4|страницы=273–281|doi=10.1103/PhysRev.3.273|ref=Bridgman}}
* {{книга|автор ={{нп3|Хатсопулос, Джордж|Hatsopoulos G. N.||Hatsopoulos G. N.}}, Keenan J. H.|заглавие =Principles of General Thermodynamics|ссылка =www.libgen.io/book/index.php?md5=08D9627D9C9B7D3B0FD2D6F1EF603747|место =N. Y. e. a.|издательство =John Wiley & Sons, Inc.|год =1965|том =|страниц =830|серия =|isbn =|ref =Hatsopoulos G. N., Keenan J. H., Principles of General Thermodynamics}} {{Wayback|url=www.libgen.io/book/index.php?md5=08D9627D9C9B7D3B0FD2D6F1EF603747 |date=20170923003831 }}
* {{книга|автор =[[Максвелл, Джеймс Клерк|Maxwell J. Clerk]]|заглавие =Theory of Heat|ссылка=|издание = |издательство =Longmans, Green, and Co.|год =1871|место =London|страниц =324|серия = |isbn = |ref =Maxwell J. Clerk, Theory of Heat}} [https://www3.nd.edu/~powers/ame.20231/maxwell1872.pdf Третье издание (1872) в онлайн доступе].
* {{статья|автор =Shaw A. Norman|заглавие =The Derivation of Thermodynamical Relations for a Simple System|ссылка =www.libgen.io/scimag/index.php?s=10.1098/rsta.1935.0009|язык =en|издание =Philosophical Transactions of the Royal Society of London, A|издательство =|год =1935|volume =234|номер =740|pages =299—328|doi =10.1098/rsta.1935.0009|ref =Shaw A. N., Derivation of Thermodynamical Relations}}{{Недоступная ссылка|date=Декабрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{книга|автор =Аминов Л. К.|заглавие =Термодинамика и статистическая физика. Конспекты лекций и задачи|ссылка = libgen.io/book/index.php?md5=d8c047a1aaaa1c591bf063b03600716f|ответственный = |издание = |место =Казань|издательство =Казан. ун-т|год =2015|том = |страниц =180|серия = |isbn = |ref =Аминов Л. К., Термодинамика и статистическая физика}}
* {{книга|автор =Ансельм А. И.|заглавие =Основы статистической физики и термодинамики|ссылка =www.libgen.io/book/index.php?md5=E43E44FC5E6BBC0E4AD788000CCCC282|ответственный =|издание =|место =М.|издательство =[[Наука (издательство)|Наука]]|год =1973|том =|страниц =424|серия =|isbn =|ref =Ансельм А. И., Основы статистической физики и термодинамики}}{{Недоступная ссылка|date=Декабрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{книга|автор =Беляев Н. М.|заглавие =Термодинамика|ссылка = libgen.io/book/index.php?md5=bbaf63a616d5d3fa315ef65659841880|издание = |место =Киев|издательство =Вища школа|год =1987|том = |страниц =344|серия = |isbn = |ref =Беляев Н. М., Термодинамика}}
* {{книга|автор =Бокштейн Б.С., Менделев М.И., Похвиснев Ю.В.|заглавие =Физическая химия: термодинамика и кинетика|ссылка =www.libgen.io/book/index.php?md5=3B466208DF1CA0841637158F5470782F|ответственный =|издание =|место =М.|издательство =Изд. Дом МИСиС|год =2012|том =|страниц =258|серия =|isbn =978-5-87623-619-7|ref =Бокштейн Б.С. и др., Физическая химия}}{{Недоступная ссылка|date=Декабрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Статистическая физика|2001}}
* {{книга|автор=Льюис, Г. Н., Рендалл, М.|заглавие= Химическая термодинамика|место={{Л}}|издательство=ОНТИ—Химтеорет|год=1936|страниц= 548|ссылка=|ref=Льюис и Рендалл}}
* {{книга|автор =Мюнстер А.|заглавие =Химическая термодинамика|ссылка =www.libgen.io/book/index.php?md5=D093A70A8E14A526AE64840A991B81D2|ответственный =Пер. с нем. под. ред. чл.-корр. АН СССР Я. И. Герасимова|издание =2-е изд., стереотип|место =М.|издательство =УРСС|год =2002|страниц =296|isbn =5-354-00217-6|ref =Мюнстер А., Химическая термодинамика}}{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{книга|автор =Невинский В. В.|ответственный =|заглавие =Элементы равновесной термодинамики: фундаментальные понятия и приложения|ссылка =www.libgen.io/book/index.php?md5=2E41AD82A7E2971F4FB2FAECD08E2B03|издание =|место =СПб.|издательство =Энерготех|год =2005|том =|страниц =344|серия =Проблемы энергетики|isbn =5-93364-005-0|ref =Невинский В. В., Элементы равновесной термодинамики}}{{Недоступная ссылка|date=Декабрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{книга|автор =[[Новиков, Иван Иванович|Новиков И. И.]]|заглавие =Термодинамика|ссылка =www.libgen.io/book/index.php?md5=2684B3A86FCFE2D892518443B7C52CFC|издание =2-е изд., испр|место =СПб.|издательство =Лань|год =2009|том =|страниц =592|серия =Учебники для вузов. Специальная литература|isbn =978-5-8114-0987-7|ref =Новиков И. И., Термодинамика}}{{Недоступная ссылка|date=Июнь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{книга|автор =Самойлович А. Г.|заглавие =Термодинамика и статистическая физика|ссылка =www.libgen.io/book/index.php?md5=4CD78FA27110F93ADC92DB65A436D829|ответственный =|издание =2-е изд|место =М.|издательство =[[Физматлит|Гостехиздат]]|год =1955|том =|страниц =368|серия =|isbn =|ref =Самойлович А. Г., Термодинамика и статистическая физика}}{{Недоступная ссылка|date=Декабрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{книга |автор =  |заглавие = Термодинамика. Основные понятия. Терминология. Буквенные обозначения величин |ссылка = www.libgen.io/book/index.php?md5=F0DD1E2241DFA869DADAFFD4614905AC |ответственный = Отв. ред. [[Новиков, Иван Иванович|И. И. Новиков]] |издание = АН СССР. Комитет научно-технической терминологии. Сборник определений. Вып. 103 |место = М. |издательство = Наука |год = 1984 |том =  |страниц = 40 |серия =  |isbn =  |ref = Термодинамика. Основные понятия. Терминология. Буквенные обозначения величин }}{{Недоступная ссылка|date=Октябрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}
* {{книга|автор =Трайбус М.|заглавие =Термостатика и термодинамика|ссылка =www.libgen.io/book/index.php?md5=C47FF7CAD701ECBC0BC7A9E9A29553E7|ответственный =Пер. с англ. под ред. А. В. Лыкова|издание =|место =М.|издательство =Энергия|год =1970|том =|страниц =504|серия =|isbn =|ref =Трайбус М., Термостатика и термодинамика}}{{Недоступная ссылка|date=Декабрь 2019 |bot=InternetArchiveBot }}

{{Добротная статья|Физика}}

[[Категория:Уравнения]]
[[Категория:Термодинамика]]
[[Категория:Именные законы и правила|Бриджмена]]
[[Категория:Теплоёмкость]]

{{спам-ссылки|1=
* www.libgen.io/book/index.php?md5=08D9627D9C9B7D3B0FD2D6F1EF603747
* www.libgen.io/scimag/index.php?s=10.1098/rsta.1935.0009
* libgen.io/book/index.php?md5=d8c047a1aaaa1c591bf063b03600716f
* www.libgen.io/book/index.php?md5=E43E44FC5E6BBC0E4AD788000CCCC282
* libgen.io/book/index.php?md5=bbaf63a616d5d3fa315ef65659841880
* www.libgen.io/book/index.php?md5=3B466208DF1CA0841637158F5470782F
* www.libgen.io/book/index.php?md5=D093A70A8E14A526AE64840A991B81D2
* www.libgen.io/book/index.php?md5=2E41AD82A7E2971F4FB2FAECD08E2B03
* www.libgen.io/book/index.php?md5=2684B3A86FCFE2D892518443B7C52CFC
* www.libgen.io/book/index.php?md5=4CD78FA27110F93ADC92DB65A436D829
* www.libgen.io/book/index.php?md5=F0DD1E2241DFA869DADAFFD4614905AC
* www.libgen.io/book/index.php?md5=C47FF7CAD701ECBC0BC7A9E9A29553E7
}}