Просмотр кода страницы Спин-орбитальное взаимодействие

{{другое значение|Слово «[[Взаимодействие (значения)|Взаимодействие]]» имеет и другие значения.}}
'''Спин-орбитальное взаимодействие''' — в [[Квантовая физика|квантовой физике]] взаимодействие между движущейся частицей и её собственным [[Магнитный момент|магнитным моментом]], обусловленным [[спин]]ом частицы. Наиболее часто встречающимся примером такого взаимодействия является взаимодействие [[электрон]]а, находящегося на одной из орбит в [[атом]]е, с собственным спином. Такое взаимодействие, в частности, приводит к возникновению так называемой [[Тонкая структура|тонкой структуры]] [[Энергетический спектр|энергетического спектра]] электрона и расщеплению [[Спектроскопия|спектроскопических]] линий атома.

== Вывод гамильтониана спин-орбитального взаимодействия ==
Спин-орбитальное взаимодействие является [[Специальная теория относительности|релятивистским эффектом]], поэтому для вывода части [[Гамильтониан (квантовая механика)|гамильтониана]], отвечающей данному взаимодействию, следует отталкиваться от [[Уравнение Дирака|уравнения Дирака]] с учтённым в гамильтониане вкладом от внешнего электромагнитного поля с [[Векторный потенциал|векторным потенциалом]] '''A''' и [[Скалярный потенциал|скалярным потенциалом]] φ, для чего в уравнении Дирака, согласно [[Лагранжев формализм|лагранжеву формализму]]<ref>{{Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Теория поля|1988}}</ref>, нужно произвести замену
:<math> \mathbf {p} \rightarrow \mathbf {p} - (e/c) \mathbf {A} </math>
и
:<math>E \rightarrow E +e \varphi </math>.
В итоге уравнение Дирака принимает вид:

:<math>i \hbar {\frac{\partial \psi}{\partial t}} = [c \boldsymbol \alpha (\mathbf p - {\frac{e}{c}} \mathbf A ) + \beta m c^2 + e \varphi ] \psi </math>,

где <math> \beta = \begin{pmatrix} 
\mathbf 1 & 0 \\
0 & -\mathbf 1\\ \end{pmatrix}, \quad 
\boldsymbol \alpha = \begin{pmatrix} 
0 & \boldsymbol \sigma \\
\boldsymbol \sigma & 0\\ \end{pmatrix} </math>

<math> \sigma_i </math> — [[матрицы Паули]]

:<math> \sigma_x = \begin{pmatrix} 
0 & 1 \\
1 & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad 
\sigma_y = \begin{pmatrix}
0 & -i \\
i & 0 \\ \end{pmatrix}, \quad 
\sigma_z = \begin{pmatrix} 
1 & 0 \\
0 & -1 \\ \end{pmatrix}, \quad 
\ \mathbf 1 = \begin{pmatrix} 
1 & 0 \\
0 & 1 \\ \end{pmatrix}. </math>

Из данного гамильтониана видно, что [[волновая функция]] ψ должна быть четырёхкомпонентной, причём известно, что две её компоненты соответствуют решениям с положительной энергией, а две — с отрицательной. Роль решений с отрицательной энергией мала при рассмотрении вопросов, связанных с магнитными явлениями, поскольку [[Дырка|дырки]] в спектре отрицательной энергии соответствуют [[позитрон]]ам, для образования которых нужна энергия порядка <math> m c^2 </math>, что значительно превышает энергию, связанную с магнитными явлениями. В связи с вышесказанным удобно воспользоваться каноническим [[преобразование  Фолди и Ваутхайзена|преобразованием Фолди и Ваутхайзена]]<ref>{{статья|автор=L.L.Foldy, S.A.Wouthuysen|заглавие=On the Dirac theory of spin 1/2 particles and its non-relativistic limit|язык=en|издание=Phys.Rev.|тип=журнал|год=1950|том=78|страницы=29-36|doi=10.1103/PhysRev.78.29}}</ref> , которое разбивает уравнение Дирака на пару двухкомпонентных уравнений. Одно из которых описывает решения с отрицательной энергией, а другое с положительной и имеет гамильтониан следующего вида:

:<math> \mathcal H = \left [ mc^2 + \frac{1}{2m} \left ( {\mathbf p} - \frac{e}{c} {\mathbf A} \right )^2 - \frac{p^4}{8m^3c^2} \right ] + {e \varphi} - \frac{e \hbar}{2mc} {\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf H} + \left \{ - i {\frac{e \hbar^2}{8 m^2 c^2}} {\boldsymbol \sigma} \cdot {\nabla} \times {\mathbf E} - {\frac{e \hbar}{4 m^2 c^2}}{\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf E} \times {\mathbf p} \right \} - \frac{e \hbar^2}{8 m^2 c^2} {\nabla} \cdot {\mathbf E} . </math>

Члены, заключённые в фигурные скобки, характеризуют спин-орбитальное взаимодействие. В частности, если электрическое поле центрально-симметричное, то имеем <math> \nabla \times \mathbf E = 0</math>, и гамильтониан спин-орбитального взаимодействия принимает вид:

:<math> \mathcal H_{so}= - { \frac{e \hbar}{4 m^2 c^2}}{\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf E} \times {\mathbf p} = 
{\frac{\hbar}{4 m^2 c^2}} {\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} {\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf r} \times {\mathbf p} = {\frac{\hbar}{4 m^2 c^2}} {\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} {\boldsymbol \sigma} \cdot {\mathbf L}, </math>

где <math> \mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p </math> — оператор углового [[Момент импульса|момента импульса]] электрона.

Данный результат согласуется с классическим выражением, описывающим взаимодействие спина электрона с полем обусловленным орбитальным движением электрона. Поясним это.

== Классическое выражение энергии спин-орбитального взаимодействия для атомарного электрона ==

Пусть электрон движется равномерно и прямолинейно со скоростью '''v''' в поле ядра, помещённого в начале системы координат 1 и которое создаёт кулоновское поле <math>e \mathbf E = - {\frac{\mathbf r}{r} \frac{\partial V}{\partial r}}</math>. В системе координат 2, связанной с движущимся электроном, наблюдатель будет видеть движущееся ядро, которое создает как электрическое, так и магнитное поле, с напряженностью '''E'''' и '''H'''', соответственно. Как следует из теории относительности '''E'''' и '''H'''' связаны с '''Е''' следующими соотношениями:

:<math>\mathbf E'=\mathbf E,\quad \mathbf H' \approx - \frac{1}{c}\mathbf v \times \mathbf E = - \frac{1}{m c}\mathbf p \times \mathbf E. </math>

Где отброшены члены порядка <math>v^2/c^2.</math>

Тогда уравнение изменения спинового момента количества движения <math> \mathbf S = \frac{\hbar}{2}\boldsymbol \sigma {  } </math> (связанного, согласно гипотезе Уленбека — Гаудсмита, [[Гиромагнитное отношение|гиромагнитным отношением]] с магнитным моментом <math> \boldsymbol \mu </math>, как <math> \frac{ |\boldsymbol \mu |}{| \mathbf S |} = \frac{|e|}{mc}  { } </math>) в системе координат 2 будет иметь вид:

:<math>\frac{d \mathbf S}{dt}=\mu \times \mathbf H' = - \frac{e \hbar}{2 m^2 c^2} \boldsymbol \sigma \times \left [ \mathbf p \times \mathbf E \right ]. </math>

Это уравнение соответствует взаимодействию спина электрона с электромагнитным полем, которое описывается гамильтонианом следующего вида:

:<math> \mathcal H'_{so} = \frac{e \hbar}{2 m^2 c^2} \boldsymbol \sigma \cdot \mathbf p \times \mathbf E. </math>

Заметим, что вид гамильтониана с точностью до множителя 1/2 совпадает с видом спин-орбитальной части гамильтониана полученного из уравнения Дирака с помощью преобразования Фолди и Ваутхайзена. Отсутствие этого множителя связано с тем, что уравнение изменения магнитного момента электрона будет верно только в том случае, если система 2 не будет вращающейся, в противном случае это уравнение, из-за [[Прецессия Томаса|прецессии Томаса]], должно иметь вид

:<math>\frac{d \mathbf S}{dt}=\frac{e \hbar}{2 m c} \boldsymbol \sigma \times \mathbf H' - \omega_{T} \times \mathbf S ,</math>

где <math>\omega_{T}</math> — томосовская [[угловая скорость]] вращения.

Электрон в атоме ускоряется экранированным кулоновским полем поэтому томосовская угловая скорость описывается соотношением

:<math>\omega_{T} \approx \frac{1}{2 m^2 c^2}{\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} [\mathbf r \times \mathbf p] </math>

Таким образом гамильтониан спин-орбитального взаимодействия будет иметь вид:

:<math> \mathcal H_{so} =  \frac{\hbar}{2 m^2 c^2} \frac{1}{r}\frac{dV}{dr} \boldsymbol \sigma \cdot \mathbf r \times \mathbf p - \frac{\hbar}{4 m^2 c^2}{\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} \boldsymbol \sigma \cdot \mathbf r \times \mathbf p = \frac{\hbar}{4 m^2 c^2}{\frac{1}{r} \frac{\partial V}{\partial r}} \boldsymbol \sigma \cdot \mathbf r \times \mathbf p,</math>

Что в точности совпадает с ранее полученным результатом.

== В твёрдом теле ==
В полупроводниках спин-орбитальное взаимодествие описывается [[Эффект Рашбы|гамильтонианом Рашбы]] и [[Эффект Дрессельхауза|Дрессельхауза]]{{sfn|Борисенк, Данилюк, Мигас|2021|с=22—23}}.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{Книга:Степанов Н.Ф.: Квантовая механика и квантовая химия|страницы=391—398}}
* {{книга | автор = Борисенко Виктор Евгеньевич, Данилюк Александр Леонидович, Мигас Дмитрий Борисович | заглавие = Спинтроника : учебное пособие | издание = 2-е | место = М.| издательство =«Лаборатория знаний»| год = 2021 | страниц = 232| isbn =978-5-93208-558-5 |ref=Борисенк, Данилюк, Мигас}}
* ''Уайт Р.'' Квантовая теория магнетизма / Пер. с англ. — 2-е изд., испр. и. доп. — М.: [[Издательство Мир|Мир]], 1985. — 304 с.
* ''[[Бьёркен, Джеймс|Бьёркен Дж. Д.]], [[Дрелл, Сидни|Дрелл С. Д.]]'' Релятивистская квантовая теория. Том 2. — ИО НФМИ, 2000. — 296 с.
* ''Джексон Дж.'' Классическая электродинамика. — М.: [[Издательство Мир|Мир]], 1965. — 703 с.

{{rq|refless|img|topic=physics}}

[[Категория:Квантовая физика]]
[[Категория:Атомная физика]]
[[Категория:Спектроскопия]]
[[Категория:Магнетизм]]