Просмотр кода страницы Среднее арифметико-геометрическое

{{Значения|АГС}}
'''Среднее арифметико-геометрическое''' (''арифметико-геометрическое среднее'', ''АГС'') — величина, определяющаяся для двух величин <math>a</math> и <math>b</math> как предел взаимозависимых последовательностей <math>\{a_N\}</math>, <math>\{b_N\}</math>, где:
: <math>a_0=a  \quad  \quad  \quad \quad  \quad  \quad \quad  \quad  b_0=b</math>
: <math>a_1=\frac{a_0+b_0}{2} \quad  \quad  \quad \quad b_1=\sqrt{a_0b_0}</math>
: <math>a_2=\frac{a_1+b_1}{2} \quad  \quad  \quad \quad b_2=\sqrt{a_1b_1}</math>
: …
: <math>a_N=\frac{a_{N-1}+b_{N-1}}{2}\quad  \quad  b_N=\sqrt{a_{N-1}b_{N-1}}</math>
имеют при <math>N\to \infty</math> один и тот же предел<ref>{{статья |заглавие=Algorithms involving arithmetic and geometric means |ссылка=https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_1971-05_78_5/page/496 |издание=[[American Mathematical Monthly|Amer. Math. Monthly]] |том=78 |страницы=496—505 |doi=10.2307/2317754 |id={{MR|0283246}} |язык=en |тип=journal |автор=B. C. Carlson |год=1971}}</ref><ref>{{статья |заглавие=An algorithm for computing logarithms and arctangents |издание=Math.Comp. |том=26 |номер=118 |страницы=543—549 |doi=10.2307/2005182 |id={.   {MR|0307438}} |язык=en |тип=journal |автор=B. C. Carlson |год=1972}}</ref>:
: <math>\lim_{N\to\infty}a_N = \lim_{N\to\infty}b_N = M(a,b)</math>.

АГС может быть применено для быстрого вычисления точного периода [[Математический маятник|математического маятника]]<ref name="Adlaj">{{Citation
 |title        = An eloquent formula for the perimeter of an ellipse
 |url          = http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf
 |last         = Adlaj
 |first        = Semjon
 |journal      = [[Notices of the American Mathematical Society|Notices of the AMS]]
 |issn         = 1088-9477
 |volume       = 76
 |issue        = 8
 |date         = September 2012
 |pages        = 1094–1099
 |doi          = 10.1090/noti879
 |access-date  = 2016-07-14
 |archive-date = 2016-05-06
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20160506161654/http://www.ams.org/notices/201208/rtx120801094p.pdf
 |url-status   = dead
}}</ref>.

Часто используется сокращение <math>M(x)=M(x, 1)</math>. В частности <math>M(x,y) = y M(x/y,1) = y M(x/y)</math>.

{{якорь|Модифицированное арифметико-геометрическое среднее}}'''''Модифицированное арифметико-геометрическое среднее''''' (''МАГС'') двух величин <math>x</math> и <math>y</math> — (общий) предел (убывающей) последовательности <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> и (возрастающей) последовательности <math>\{y_n\}_{n=1}^\infty</math>, где <math>x_0 = x</math>, <math>y_0 = y</math> и <math>z_0 = 0</math>.

: <math>x_{n+1} = \frac{x_n+y_n}{2}</math>

: <math>y_{n+1} = z_n+\sqrt{(x_n-z_n)(y_n-z_n)}</math>

: <math>z_{n+1} = z_n-\sqrt{(x_n-z_n)(y_n-z_n)}</math>

МАГС может быть применено для быстрого вычисления длины нити в линейном параллельном поле сил отталкивания.

МАГС выразимо посредством АГС{{как}}, такое опосредованное вычисление МАГС предпочтительно при вычислении длины периметра [[эллипс#Точные формулы для периметра|эллипса]] <math>L</math> с полуосями <math>a</math> и <math>b</math>:

: <math>L = \frac{2 \pi N(a^2;b^2)}{M(a;b)},</math>
где <math>M(x;y)</math> — АГС чисел <math>x</math> и <math>y</math>, а <math>N(x;y)</math> — МАГС чисел <math>x</math> и <math>y</math>. Тем самым, такая формула выражает метод Гаусса, с [[Скорость сходимости|квадратичной сходимостью]], для вычисления полного эллиптического интеграла второго рода<ref name="Adlaj" />.

== Приложения ==
С использованием АГС и МАГС можно вычислять значения некоторых [[Трансцендентная функция|трансцендентных функций]] и [[Число пи|числа <math>\pi</math>]].
Например, по формуле Гаусса — Саламина<ref>{{статья |заглавие=Computation of <math>\pi</math> using arithmetic-geometric mean |издание={{iw|Mathematics of Computation|Math. Comp.||Mathematics of Computation}} |том=30 |номер=135 |страницы=565—570 |doi=10.2307/2005327 |id={{MR|0404124}} |язык=en |тип=journal |автор={{iw|Саламин, Юджин (математик)|E. Salamin|en|Eugene Salamin (mathematician)}} |год=1976}}</ref>:
: <math>\pi = \frac{2 M \left(1;\sqrt{2}\right)^2}{1-\sum_{j=1}^{\infty}2^j c_j^2},</math>
где <math>c_j = \frac 12\left(a_{j-1}-b_{j-1}\right)</math>, <math>a_0 = 1</math>, <math>b_0 = \sqrt{2}</math>.

В то же время, если взять:
: <math>a_0 = 1,  \quad  \quad  \quad b_0 = \cos\alpha</math>,
то
: <math>\lim_{N\to\infty}a_N = \frac{\pi}{2K(\sin\alpha)}</math>,
где <math>K(\alpha)</math> есть полный [[эллиптический интеграл]]
: <math>K(\alpha) = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}(1 - \alpha^2\sin^2\theta)^{-\frac 12}d\theta</math>.

То есть <math>\pi</math> выражается формулой:

: <math>\pi = \frac{M(\sqrt{2})^2}{N(2) - 1}</math>,

где <math>M(x)</math> — АГС 1 и <math>x</math>, а <math>N(x)</math> — МАГС 1 и <math>x</math><ref name="Adlaj" />.

Пользуясь этим свойством, а также [[Преобразование Ландена|преобразованиями Ландена]]<ref>{{cite doi|10.1098/rstl.1775.0028}}</ref>, [[Брент, Ричард|Брент]] предложил<ref>{{статья |заглавие=Fast Multiple-Precision Evaluation of Elementary Functions |издание=J. Assoc. Comput. Mach. |том=23 |номер=2 |страницы=242—251 |doi=10.1145/321941.321944 |id={{MR|0395314}} |язык=en |тип=journal |автор=[[Брент, Ричард|R.P. Brent]] |год=1976}}</ref> первые АГС-алгоритмы для быстрого вычисления простейших трансцендентных функций (<math>e^x, \cos x, \sin x</math>). В дальнейшем исследование и использование АГС-алгоритмов было продолжено многими авторами<ref>{{книга |заглавие=Pi and the AGM |издательство=Wiley |место=New York |год=1987 |isbn=0-471-83138-7 |id={{MR|0877728}} |язык=en |автор={{iw|Борвейн, Джонатан|J. M. Borwein|en|Jonathan Borwein}} and {{iw|Борвейн, Питер|P. B. Borwein|en|Peter Borwein}}}}</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

{{Среднее}}

[[Категория:Вычислительная математика]]
[[Категория:Средние величины|Арифметико-геометрическое]]