Просмотр кода страницы Сриниваса Рамануджан

{{тамильское имя|Рамануджан|Сриниваса|Айенгор — каста}}
{{Учёный
| Имя = Сриниваса Рамануджан
| Изображение = 
| Описание изображения = Один из немногих известных портретов Рамануджана
| Гражданство = {{флагификация|Британская Индия}}
| Научная сфера = {{Математик|Индии|в теории чисел|XX века}}
| Альма-матер = {{iw|Кумбаконамский колледж Мадрасского университета|||Government Arts College, Kumbakonam}}, [[Кембриджский университет]]
| Научный руководитель = [[Годфри Харди]]<br>[[Джон Литлвуд]]
| Известен как = [[Суммы Рамануджана]]<br>[[Гипотеза Рамануджана]]<br>[[Константа Ландау—Рамануджана]]<br>{{iw|Фальшивые тета-функции|||Mock theta function}}<br>[[Простые числа Рамануджана]]<br>{{iw|Константа Рамануджана-Зольднера|||Ramanujan–Soldner constant}}<br>[[Тета-функция Рамануджана|Тета-функции Рамануджана]]
| Роспись = Signature of Srinivasa Ramanujan.svg
| Ширина росписи = 150 px
}}
'''Сринива́са Рамануджа́н Айенго́р''' ({{Audio|Srinivasa_ramanujan_wikipedia.ogg|произношение}}; {{lang-ta|ஸ்ரீனிவாஸ ராமானுஜன் ஐயங்கார்}} {{IPA|[sriːniʋaːsa ɾaːmaːnud͡ʑan ajːaŋgar]}}; {{lang-en|Srinivasa Ramanujan Aiyangar}}; [[22 декабря]] [[1887]] — [[26 апреля]] [[1920]]) — индийский математик.

Не имея специального математического образования, получил замечательные результаты в области [[теория чисел|теории чисел]]. Наиболее значительна его работа совместно с [[Харди, Годфри Харолд|Годфри Харди]] по [[«O» большое и «o» малое|асимптотике]] числа [[разбиение числа|разбиений]] ''p''(''n'').

== Биография ==
Рамануджан родился 22 декабря 1887 года в городе [[Ироду]], [[Мадрасское президентство]], на юге Индии, в [[Тамилы|тамильской]] семье. Отец работал [[бухгалтер]]ом в небольшой текстильной лавке в городе [[Кумбаконам]]е [[Танджавур (округ)|Танджорского района]] [[Мадрасское президентство|Мадрасского президентства]]. Мать была глубоко религиозна. Рамануджан воспитывался в строгих традициях замкнутой касты [[Брахманы|брахманов]]. В 1889 году он перенёс [[оспа|оспу]], но сумел выжить и выздороветь.

В школе проявились его незаурядные способности к математике, и знакомый студент из города [[Мадрас]]а дал ему книги по [[тригонометрия|тригонометрии]]. В 14 лет Рамануджан открыл [[Формула Эйлера|формулу Эйлера]] и был очень расстроен, узнав, что она уже опубликована. В 16 лет в его руки попало двухтомное сочинение математика [[Карр, Джордж Шубридж|Джорджа Шубриджа Карра]] «Сборник элементарных результатов чистой и прикладной математики», написанное почти за четверть века до этого (впоследствии, благодаря связи с именем Рамануджана, эта книга была подвергнута тщательному анализу). В нём было помещено 6165 теорем и формул, практически без доказательств и пояснений. Юноша, не имевший ни доступа в [[ВУЗ|вуз]], ни общения с математиками, погрузился в общение с этим сводом формул. Таким образом, у него сложился определённый способ мышления, своеобразный стиль доказательств. В этот период и определилась математическая судьба Рамануджана. Среди покровителей Рамануджана на этом поприще были его начальник сэр Фрэнсис Спринг, его коллега {{Nobr|С. Нараяна Ийер}} и будущий секретарь Индийского математического общества {{Nobr|Р. Рамачандра Рао}}.

В январе 1913 года Рамануджан написал письмо известному профессору [[Кембриджский университет|Кембриджского университета]] [[Харди, Годфри Харолд|Годфри Харди]]. В письме Рамануджан сообщал, что он не оканчивал университета, а после средней школы занимается математикой самостоятельно. К письму были приложены формулы, автор просил их опубликовать, если они интересны, поскольку сам он беден и не имеет для публикации достаточных средств. Между кембриджским профессором и индийским клерком завязалась оживлённая переписка, в результате которой у Харди накопилось около 120 формул, неизвестных науке того времени. По настоянию Харди Рамануджан приехал в [[Кембридж]]. Там он был избран в члены [[Лондонское королевское общество|Английского Королевского общества]] (Английская академия наук) и одновременно профессором Кембриджского университета. Он был первым индийцем, удостоенным таких почестей. Печатные труды с его формулами выходили один за другим, вызывая удивление, а подчас и недоумение коллег.

В формировании математического мира Рамануджана начальный запас математических фактов объединился с огромным запасом наблюдений над конкретными числами. Он коллекционировал такие факты с детства. Он обладал поразительной способностью подмечать огромный числовой материал. По словам Харди, «каждое натуральное число было личным другом Рамануджана»{{нет АИ|9|04|2021}}. Многие математики (как современники Рамануджана, так и наши современники) считают Рамануджана гением, опередившим развитие науки на много десятилетий{{нет АИ|9|04|2021}}.

По семейным обстоятельствам Рамануджан вернулся в Индию, где и умер 26 апреля 1920 года. Причиной ранней (в возрасте 32 лет) смерти мог быть [[туберкулёз]], усугублённый последствиями [[недоедание|недоедания]], истощения и стресса. В 1994 году предположили, что у Рамануджана мог быть [[амёбиаз]].

== Научные интересы и результаты ==
Сфера его математических интересов была очень широка. Это [[магический квадрат|магические квадраты]], [[квадратура круга]], [[Ряд (математика)|бесконечные ряды]], [[Гладкое число|гладкие числа]], [[Разбиение числа|разбиения чисел]], [[гипергеометрическая функция|гипергеометрические функции]], специальные суммы и функции, ныне носящие его имя, [[определённый интеграл|определённые интегралы]], [[Эллиптическая функция|эллиптические]] и [[Модулярная функция|модулярные]] функции.

Он нашёл несколько частных решений уравнения [[Эйлер, Леонард|Эйлера]] (см. [[задача о четырёх кубах]]), сформулировал около 120 теорем (в основном в виде исключительно сложных тождеств). Современными математиками Рамануджан считается крупнейшим знатоком [[цепная дробь|цепных дробей]] в мире. Одним из самых замечательных результатов Рамануджана в этой области является формула, в соответствии с которой сумма простого числового ряда с цепной дробью в точности равна выражению, в котором присутствует произведение <math>e</math> на <math>\pi</math>:
: <math> 1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \ldots +
\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{2}{1+\displaystyle\frac{3}{1+\displaystyle\frac{4}{1+\displaystyle\frac{5}{1+\ldots}}}}}} = \sqrt{\frac{e\cdot\pi}{2}}.</math>

Математикам хорошо известна формула вычисления [[Пи (число)|числа <math>\pi</math>]], полученная Рамануджаном в 1910 году путём разложения [[арктангенс]]а в [[ряд Тейлора]]:
: <math> \pi = \frac{9801}{2\sqrt{2} \sum\limits^\infty_{k=0} \displaystyle\frac{(4k)!}{(k!)^4} \times \displaystyle\frac{[1103 + 26390k]}{(4 \times 99)^{4k}}}.</math>
Уже при суммировании первых 100 элементов (<math>k=100</math>) этого ряда достигается точность в шестьсот верных значащих цифр.

Примеры бесконечных сумм, найденных Рамануджаном:
: <math>1 - 5\left(\frac{1}{2}\right)^3 + 9\left(\frac{1\times3}{2\times4}\right)^3 - 13\left(\frac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3 + \ldots = \frac{2}{\pi}</math>.
: <math>1 + 9\left(\frac{1}{4}\right)^4 + 17\left(\frac{1\times5}{4\times8}\right)^4 + 25\left(\frac{1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4 + \ldots = \frac{2^\frac{3}{2}}{\pi^\frac{1}{2}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)}.</math>

Эти удивительные формулы — одни из предложенных им в первом письме к [[Харди, Годфри Харолд|Харди]]. Доказательства этих равенств нетривиальны.

Другие формулы Рамануджана не менее изящны:

: <math>\sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + \ldots}}}} = 3.</math>
{{Начало скрытого блока|заголовок = Доказательство}}
Рамануджан предложил следующее доказательство. Заметим, что
: <math>n^2 = 1 + n^2 - 1</math>,
: <math>n^2 = 1 + (n - 1)(n + 1)</math>,
: <math>n = \sqrt{1 + (n - 1)(n + 1)}</math>.
Тогда
: <math>3 = \sqrt{1 + 2\cdot 4}</math>
: <math>4 = \sqrt{1 + 3\cdot 5}</math>
: <math>5 = \sqrt{1 + 4\cdot 6}</math>
: <math>\vdots</math>
Объединяя первые три равенства, получаем
: <math>3 = \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\cdot 6}}}</math>.
Если продолжать процесс подстановки выражений вида <math>n = \sqrt{1 + (n - 1)(n + 1)}</math> бесконечно, то получится формула Рамануджана.
: <math>3 = \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\cdot 6}}} =  \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + 5\cdot 7}}}} = \cdots = \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1 + 4\sqrt{1 + \ldots}}}} </math>.
Позже было замечено, что это доказательство Рамануджана является неполным<ref>{{Cite journal |last=Herschfeld |first=Aaron |date=August 1935 |title=On Infinite Radicals |url=https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/00029890.1935.11987745 |journal=The American Mathematical Monthly |language=en |volume=42 |issue=7 |pages=419–429 |doi=10.1080/00029890.1935.11987745 |issn=0002-9890}}</ref>. Такую подстановку нельзя делать бесконечное число раз. В противном случае можно было бы предложить и другие решения. Например,
: <math>4 = \sqrt{16} = \sqrt{1 + 2(15/2)} = 
\sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3(221/12)}} = \cdots = \sqrt{1+2{\sqrt{1+3{\sqrt{1+\cdots}}}}}.</math>
При этом, действительно, последовательность
: <math>u_1 = \sqrt{1}</math>
: <math>u_2 = \sqrt{1 + 2\sqrt{1}}</math>
: <math>u_3 = \sqrt{1 + 2\sqrt{1 + 3\sqrt{1}}}</math>
: <math>\vdots</math>
: <math>u_n = \sqrt{1 + 2\sqrt{1+3\sqrt{1 + \dotsc+n\sqrt{1}}}}</math>
имеет предел, равный 3.

Доказательство Рамануджана даёт только верхнюю оценку, показывая, что <math>u_n \le 3</math> для любого (конечного) <math>n</math>. Таким образом последовательность <math>u_n</math> ограничена сверху. Легко проверить, что последовательность <math>u_n</math> возрастает. Поэтому по [[Теорема Вейерштрасса об ограниченной возрастающей последовательности|теореме Вейерштрасса]] последовательность <math>u_n</math> имеет ''конечный'' предел <math>\le 3</math>. Осталось показать, что он действительно равен 3. Следуя определению [[Предел числовой последовательности|предела последовательности]], покажем, что для любого <math>\varepsilon > 0</math> существует такое число <math>N</math>, что <math>3 - u_n < \varepsilon</math> для всех <math>n \ge N</math>. Пусть <math>3 - \varepsilon = 3r</math>, где
<math>0 < r = 1 - \varepsilon / 3 < 1.</math> Теперь покажем, что
: <math>u_n > 3r = r\sqrt{1 + 2\sqrt{1+3\sqrt{1 + \dotsc+n\sqrt{1 + (n+1)(n+3)}}}}</math>.
Внесём <math>r</math> под корни
: <math>\sqrt{1 + 2\sqrt{1+3\sqrt{1 + \dotsc+n\sqrt{1}}}} > \sqrt{r^2 + 2\sqrt{r^{2^2}+3\sqrt{r^{2^3} + \dotsc+n\sqrt{r^{2^n}(1 + (n+1)(n+3))}}}}</math>.
Заметим, что <math>r^{2^i} < 1</math> для любого <math>i</math>. Следовательно, существует такое натуральное число <math>N'</math>, что для всех <math>n \ge N'</math>
: <math>r^{2^n}(1+(n+1)(n+3)) = r^{2^n}(n+2)^2 < 1</math>,
так как <math>r^{2^n}(n+2)^2\to 0</math> при <math>n\to\infty</math>.
Таким образом, для всех <math>n \ge N = N'</math> выполняется <math>3 - u_n < \varepsilon</math>.
{{Конец скрытого блока}}
: <math>x^3 + y^3 + z^3 = w^3</math>, где
:: <math>\begin{align}
 x &= 3a^2 + 5ab - 5b^2, \\
 y &= 5a^2 - 5ab - 3b^2, \\
 z &= 4a^2 - 4ab + 6b^2, \\
 w &= 6a^2 - 4ab + 4b^2.
\end{align}</math>

: <math>e^{\pi\sqrt{58}} = 396^4 - 104{,}000000177...</math>

Следующая формула верна для {{math|0 < ''a'' < ''b'' + {{sfrac|1|2}}}}:
: <math>
\int\limits_0^\infty \frac{1+\dfrac{x^2}{(b+1)^2}}{1+\dfrac{x^2}{a^2}} \times\frac{1+\dfrac{x^2}{(b+2)^2}}{1+\dfrac{x^2}{(a+1)^2}}\times\dots\,dx
= \frac{\sqrt \pi}{2} \times\frac{\Gamma\left(a+\frac12\right) \Gamma(b+1) \Gamma(b-a+1)}{\Gamma(a)\Gamma\left(b+\frac12\right)\Gamma\left(b-a + \frac12 \right)}.
</math>

== Признание и оценки ==
[[Файл:Srinivasa Ramanujam bust BITM.JPG|thumb|right|Бюст Рамануджана в саду {{iw|Промышленный и технологический музей Бирлы|Промышленного и технологического музея Бирлы||Birla Industrial & Technological Museum}} в [[Калькутта|Калькутте]]]]
Харди остроумно прокомментировал результаты, сообщённые ему Рамануджаном: ''«Они должны быть истинными, поскольку если бы они не были истинными, то ни у кого не хватило бы воображения, чтобы изобрести их»''{{нет АИ|25|01|2022}}. Его формулы иногда всплывают в современнейших разделах науки, о которых в его время никто даже не догадывался.

Сам Рамануджан говорил, что формулы являлись ему во сне и внушались в молитве (''в индуизме: в мантра-йоге, медитации'')<ref>Цитата из фильма «Человек, который познал бесконечность» ({{lang-en|The Man Who Knew Infinity}}) на временной шкале фильма: 1 час 25 минут.</ref> богиней [[Намагири Тхайяр]] (Махалакшми) ({{lang-hi|नामगिरी}}), почитаемой в [[Намаккал]]е ({{lang-ta|நாமக்கல்}})<ref>{{книга|автор=Харди  Г.|заглавие=Двенадцать лекций о Рамануджане|место=М.|издательство=Институт компьютерных исследований|год=2002|страниц=336|страница=11}}</ref><ref>{{статья|автор=Гиндикин С. Г.|заглавие=Загадка Рамануджана|издание=[[Квант (журнал)|Квант]]|год=1987|номер=10|страницы=20|ссылка=http://kvant.mccme.ru/1987/10/zagadka_ramanudzhana.htm|archivedate=2005-01-06|archiveurl=https://web.archive.org/web/20050106022415/http://kvant.mccme.ru/1987/10/zagadka_ramanudzhana.htm}}</ref>.

Чтобы сохранить наследие этого удивительного, ни на кого не похожего математика, в 1957 году [[Институт фундаментальных исследований Тата]] издал двухтомник с фотокопиями его черновиков.

{{Начало цитаты}}
Наука ничего не выиграла от того, что {{не переведено|Кумбаконамский колледж||en|Government Arts College, Kumbakonam}} отверг единственного большого учёного, которого он имел, и потеря была неизмеримой. Судьба Рамануджана — худший известный мне пример вреда, который может быть причинён малоэффективной и негибкой системой образования. Требовалось так мало, всего 60 фунтов стерлингов в год на протяжении 5 лет и эпизодического общения с людьми, имеющими настоящие знания и немного воображения, и мир получил бы ещё одного из величайших своих математиков…
{{Конец цитаты|источник=Г. Х. Харди{{нет АИ|25|01|2022}}}}

== Понятия, связанные с именем Рамануджана ==
[[Файл:Srinivasa Ramanujan 2011 stamp of India.jpg|мини|Рамануджан на почтовой марке 2011 года]]
Именем Рамануджана названы [[Список объектов, названных в честь Рамануджана|математические объекты и утверждения, учебные учреждения, журналы и премии]]. В частности:
* [[Гипотеза Рамануджана]]
* [[Суммы Рамануджана]]
* [[Функция Рамануджана]]
* [[Константа Ландау — Рамануджана]]
* [[Число Рамануджана — Харди]]
* [[Тождество Роджерса — Рамануджана]]
* [[Теорема Харди — Рамануджана]]
* [[Тождество Доугалла — Рамануджана]]
* [[Граф Рамануджана]]
* [[Премия SASTRA Ramanujan]]

== В кинематографе ==
Математик-самоучка Рамануджан — главный герой следующих художественных фильмов:
* «{{iw|Рамануджан (фильм)|Рамануджан||Ramanujan}}» (2014) производства Индии;
* «[[Человек, который познал бесконечность]]» (2015) производства Великобритании, по одноимённой биографии Роберта Канигела.
* Амита Рамануджан, героиня сериала «[[4исла]]», названная в честь математика.
* «[[Умница Уилл Хантинг]]» (1997) производства [[Соединённые Штаты Америки|США]]. Упоминается в диалоге профессора математики Джеральда Лембо и психолога Шона.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* ''The Man Who Knew Infinity: A Life of the Genius Ramanujan'', 1991, Robert Kanigel
* {{книга |автор=[[Гиндикин, Семён Григорьевич|Гиндикин С. Г.]] |заглавие=Рассказы о физиках и математиках |издательство=[[МЦНМО]] |место=М. |год=2001 |издание=Издание третье, расширенное |ссылка=http://www.mccme.ru/free-books/gindikin/index.html |isbn=5-900916-83-9}}
* {{книга |автор=Харди Г. |заглавие=Двенадцать лекций о Рамануджане |место=М. |издательство=Институт компьютерных исследований |год=2002 |страниц=336}}
* {{статья |автор=Гиндикин С. Г. |заглавие=Загадка Рамануджана |издание=[[Квант (журнал)|Квант]] |год=1987 |номер=10 |страницы=14 |ссылка=http://kvant.mccme.ru/1987/10/zagadka_ramanudzhana.htm}}
* {{статья |автор=Аски Р. |заглавие=С. Рамануджан. Гипергеометрические и базисные гипергеометрические ряды |издание=[[УМН]] |год=1990 |том=45 |номер=1(271) |страницы=33—76 |ссылка=http://mi.mathnet.ru/umn4690}}
* {{статья |автор=Борвейн Дж., Борвейн П. |заглавие=Рамануджан и число π |издание=[[В мире науки]] |номер=4 |год=1988 |ссылка=http://www.ega-math.narod.ru/Rama/Rama3.htm}}
* {{книга |автор=Левин В. И. |заглавие=Рамануджан — математический гений Индии |место=М. |издательство=Знание |год=1968 |ссылка=http://www.math.msu.su/department/dm/dmmc/Mis/Rama1.htm}} ([https://web.archive.org/web/20071024090449/http://www.nsu.ru/materials/ssl/text/metodics/levin.html альтернативная ссылка])
* {{статья |автор=Левин В. И. |заглавие=Жизнь и творчество индийского математика С. Рамануджана |издание=Историко-математические исследования |том=XIII |место=М. |издательство=Физматгиз |год=1960 |ссылка=http://www.ega-math.narod.ru/Rama/Rama1.htm}}
* {{книга |автор=[[Литлвуд, Джон Идензор|Литлвуд Дж. И.]] |часть=Рецензия на собрание сочинений Рамануджана |заглавие=Математическая смесь |год=1990 |место=М. |издательство=Наука |isbn=5-02-014332-4}}
* [http://www.ega-math.narod.ru/Rama/ Список литературы о Рамануджане в рунете]
* [[Эндрюс, Джордж (математик)|George E. Andrews]], Bruce C. Berndt ''Ramanujan’s Lost Notebook: Part I, II, III, IV'' {{ISBN|0-387-25529-X}}, 2008, {{ISBN|978-0-387-77765-8}}, 2012, {{ISBN|978-1-4614-3809-0}}, 2013, {{ISBN|978-1-4614-4080-2}})

{{Внешние ссылки}}
{{перевести|fr|Srinivasa Ramanujan}}
{{Нет источников в статье|дата=2021-04-09}}
{{DEFAULTSORT:Рамануджан, Сриниваса Айенгор}}

[[Категория:Учёные-самоучки]]
[[Категория:Выпускники Мадрасского университета]]