Просмотр кода страницы Статистика Ферми — Дирака

{{другие значения|2=Ферми}}
{{Статистическая физика}}
'''Статистика Фе́рми — Дира́ка'''  — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (частиц с полуцелым [[спин]]ом, подчиняющихся [[принцип Паули|принципу Паули]]:  одно [[квантовое состояние]] не может быть занято  более чем одной частицей). Определяет [[вероятность]], с которой данный энергетический уровень системы, находящейся в термодинамическом равновесии, оказывается занятым [[фермион]]ом.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц <math>n_i</math> с энергией <math>\varepsilon_i</math> есть
: <math>n_i=\frac{g_i}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)+1}</math>,
где <math>g_i</math> — [[кратность вырождения]] (число состояний частицы с энергией <math>\varepsilon_i</math>), <math>\mu</math> — [[химический потенциал]], <math>k</math> — [[постоянная Больцмана]], <math>T</math> — абсолютная [[температура]].

В идеальном [[ферми-газ]]е при низких температурах <math>\mu</math> равен [[Энергия Ферми|энергии Ферми]] <math>E_F</math>. В этом случае, если <math>g_i=1</math>, выражение для числа (доли) заполнения уровней частицами называется '''функцией Ферми''':
: <math>F(\varepsilon, T)=\frac{1}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon-E_F}{kT}\right)+1}.</math>

Указанная статистика предложена в [[1926 год]]у итальянским физиком [[Ферми, Энрико|Энрико Ферми]] и одновременно английским физиком [[Дирак, Поль Адриен Морис|Полем Дираком]], который выяснил её квантово-механический смысл. В [[1927]] статистика была применена [[Зоммерфельд, Арнольд|Арнольдом Зоммерфельдом]] к [[электрон]]ам в [[металл]]е.

== Свойства статистики Ферми — Дирака ==
[[Файл:FD e mu.jpg|thumb|300px|Функция Ферми — Дирака. С ростом температуры ступенька размывается, а заполнение состояний с энергиями выше <math>\mu</math> растёт.]]
Функция Ферми — Дирака обладает следующими свойствами:
* безразмерна;
* принимает вещественные значения в диапазоне от 0 до 1;
* убывает с энергией, резко спадая вблизи энергии, равной химическому потенциалу;
* при [[Абсолютный нуль|абсолютном нуле]] имеет вид ступеньки со скачком от 1 до 0 при <math>\varepsilon = \mu</math>, а при подъёме температуры скачок заменяется всё более плавным спадом;
* при <math>\varepsilon = \mu</math> всегда <math>F = 1/2</math> независимо от температуры.

== Математический и физический смысл ==
Функцией Ферми — Дирака <math>F(\varepsilon, T)</math> задаются числа заполнения ({{lang-en|occupancy factor}}) квантовых состояний. Хотя она нередко называется «распределением», с точки зрения аппарата [[Теория вероятностей|теории вероятностей]] она не является ни [[Функция распределения|функцией распределения]], ни [[Плотность распределения|плотностью распределения]]. В отношении этой функции, скажем, не может ставиться вопрос о [[Нормировочный множитель|нормировке]].

Давая информацию о проценте заполненности состояний, функция <math>F(\varepsilon, T)</math> ничего не говорит о наличии этих состояний. Для систем с дискретными энергиями набор их возможных значений задаётся перечнем <math>\varepsilon_1</math>, <math>\varepsilon_2</math> и т.д., а для систем с непрерывным спектром энергий состояния характеризуются «[[Плотность состояний|плотностью состояний]]» <math>\rho(\varepsilon)</math> (Дж<sup>−1</sup> или Дж<sup>−1</sup>м<sup>−3</sup>). Функция 
: <math>f(\varepsilon) =\left(\int\rho(\varepsilon)F(\varepsilon)d\varepsilon\right)^{-1}\rho(\varepsilon)F(\varepsilon)</math>
является плотностью распределения (Дж<sup>−1</sup>) частиц по энергии и нормирована. Для краткости, аргумент <math>T</math> опущен. В наиболее традиционных случаях <math>\rho(\varepsilon)\sim \sqrt{\varepsilon}</math>.

== Классический (максвелловский) предел == 
При высоких температурах и/или низких концентрациях частиц статистика Ферми — Дирака (равно как и [[статистика Бозе — Эйнштейна]]) переходят в [[статистика Максвелла — Больцмана|статистику Максвелла — Больцмана]]. А именно, в таких условиях
: <math>F(\varepsilon) = \exp\left(\frac{E_F-\varepsilon}{kT}\right)</math>. 
После подстановки плотности состояний <math>\rho(\varepsilon)</math> и интегрирования по <math>\varepsilon</math> от 0 до <math>+\infty</math> выражение для <math>f</math> примет вид
: <math>f(\varepsilon) = \frac {2\pi\sqrt{\varepsilon}}{\sqrt{(\pi kT)^3}} \exp\left(-\frac{\varepsilon}{kT}\right)</math>.
Это и есть плотность [[Распределение Максвелла|распределения Максвелла]] (по энергиям).

Распределением Максвелла (особенно хорошо работающим применительно к газам) описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурации «частица <math>A</math> в состоянии 1 и частица <math>B</math> в состоянии 2» и «частица <math>B</math> в состоянии 1 и частица <math>A</math> в состоянии 2» считаются разными.

== Применение статистики Ферми — Дирака ==
=== Сферы использования ===
Статистики Ферми — Дирака, а также [[Статистика Бозе — Эйнштейна|Бозе — Эйнштейна]] применяются в тех случаях, когда необходимо учитывать квантовые эффекты и «неразличимость» частиц. В парадигме различимости оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для [[Термодинамическая энтропия|энтропии]], что известно как [[парадокс Гиббса]]. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы.

Статистика Ферми — Дирака относится к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), а [[статистика Бозе — Эйнштейна]] — к [[бозон]]ам. Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц <math>N/V\geqslant n_q</math> (где <math>N</math> — число частиц, <math>V</math> — объём, <math>n_q</math> — квантовая концентрация). Квантовой называется концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной [[волна де Бройля|волны де Бройля]], то есть [[волновая функция|волновые функции]] частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры.

=== Конкретные примеры ===
Статистика Ферми — Дирака часто используется для описания поведения ансамбля электронов в твёрдых телах; на ней базируются многие положения теории полупроводников и электроники в целом. Например, концентрация [[электрон]]ов ([[Дырка (квазичастица)|дырок]]) в [[Зона проводимости|зоне проводимости]] ([[Валентная зона|валентной зоне]]) полупроводника в равновесии рассчитывается как
: <math>n = \int\limits_{E_c}^{+\infty}\rho(\varepsilon)F(\varepsilon)\,d\varepsilon,\quad p = \int\limits_{-\infty}^{E_v}\rho(\varepsilon)(1-F(\varepsilon))\,d\varepsilon</math>,
где <math>E_c</math> (<math>E_v</math>) — энергия [[Дно зоны проводимости|дна зоны проводимости]] ([[Потолок валентной зоны|потолка валентной зоны]]). Формула для [[Туннельный эффект|туннельного тока]] между двумя областями, разделёнными квантовым [[Потенциальный барьер|потенциальным барьером]], имеет общий вид
: <math> j = \mbox{const}\cdot\int\Theta(\varepsilon)\left[F_L(\varepsilon)-F_R(\varepsilon)\right]\,d\varepsilon</math>,
где <math>\Theta</math> — [[Коэффициент прохождения|коэффициент прозрачности]] барьера, а <math>F_L</math>, <math>F_R</math> — функции Ферми — Дирака в областях слева и справа от барьера.

== Вывод распределения Ферми — Дирака ==
Рассмотрим термодинамическую систему, состоящую из фермионов, находящихся на одном квантовом уровне. С учётом [[Принцип Паули|общих свойств фермионов]] как типа частиц, возможны лишь два варианта: наличие ровно одной частицы на обсуждаемом уровне или незанятость уровня.

Варианты различаются числом частиц — и поэтому для описания вероятностей <math>P_{yes}</math>, <math>P_{no}</math> их реализации нужно привлечь [[распределение Гиббса]] с переменным числом частиц:   
: <math>P_{yes|no} = A\cdot\exp\left(-\frac{E_{yes|no}-\mu N_{yes|no}}{kT}\right)</math>,
где <math>N</math> — число частиц, равное 1 в состоянии ''yes'' и 0 в состоянии ''no'', а энергия состояния <math>E</math> равна энергии уровня <math>\varepsilon_i</math> при наличии (''yes'') и 0 при отсутствии (''no'') фермиона; <math>A</math> — нормировочный множитель, подбираемый так, чтобы оказалось <math>P_{yes}+P_{no} = 1</math>.

Следовательно, 
: <math>P_{yes} = \frac{P_{yes}}{P_{yes}+P_{no}} = \left(1 + \exp\frac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)^{-1}</math>.
Смысл этого результата как раз и состоит в том, что рассматриваемый уровень заполнен с вероятностью (то есть «на долю») <math>P_{yes}</math>. Выражение <math>P_{yes}</math> переобозначается как <math>n_i</math>, что и соответствует статистике Ферми — Дирака. При наличии вырождения оно домножается на фактор вырождения <math>g_i</math>, как констатировалось в преамбуле.

== Уточнение влияния температуры ==
Для систем, имеющих температуру <math>T</math> ниже [[температура Ферми|температуры Ферми]] <math>T_F=E_F/k</math>, а иногда (не вполне правомерно) и для более высоких температур используется [[аппроксимация]] <math>\mu\approx E_F</math>. Но в общем случае химический потенциал зависит от температуры — и в ряде задач эту зависимость целесообразно учитывать. Функция <math>\mu</math> представляется с любой точностью [[Степенной ряд|степенным рядом]] по чётным степеням отношения <math>T/T_F<1</math>:
: <math>\mu=E_F\sum_{{n=0,1,2\dots}}{\left[(-1)^n\frac{\pi^{2n}}{2^{2n}(2n+1)}\left(\frac{kT}{E_F}\right)^{2n}\right]}=E_F\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{kT}{E_F}\right)^2+\frac{\pi^4}{80}\left(\frac{kT}{E_F}\right)^4+\ldots\right]</math>.

== Отклонения при нарушении равновесия ==
Числа заполнения состояний, диктуемые формулой Ферми — Дирака, изменяются при отклонении системы от равновесия. Подобное отклонение возникает, в частности, при наложении [[Электрическое поле|электрического поля]]. Тем не менее некоторые из приведённых выше выражений, например для концентраций электронов и дырок <math>n</math>, <math>p</math> или для туннельного тока, при этом сохраняют свою структуру, только функция <math>F(\varepsilon)</math> становится иной.

Искажения <math>F(\varepsilon)</math> в значительной доле случаев таковы, как если бы температура равнялась не <math>T</math>, а некоему эффективному более высокому значению <math>T_{eff}</math>, из-за чего говорят о [[Горячие носители заряда|горячих носителях заряда]]. При радикальных отклонениях от равновесия (например, в очень сильных полях, около <math>\sim 10^6</math> В/см и выше) аналитический вид <math>F(\varepsilon)</math> модифицируется более радикально, при этом резко возрастают числа заполнения (населённость) высокоэнергетичных состояний, а кривая <math>F(\varepsilon)</math> деформируется. Такого рода ситуации возникают в полупроводниковых приборах в режимах близких к пробойным.

== См. также ==
{{кол}}
* [[Закон Видемана — Франца]]
* [[Интеграл Ферми — Дирака]]
* [[Распределение Максвелла]]
* [[Статистика Бозе — Эйнштейна]]
{{кол|конец}}

{{Библиоинформация}} {{^v}}
{{Состояния материи}}

{{нет ссылок|дата=26 октября 2017}}

[[Категория:Статистическая физика]]
[[Категория:Квантовая теория поля]]
[[Категория:Физика твёрдого тела]]
[[Категория:Именные законы и правила|Ферми — Дирака]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Энрико Ферми]]
[[Категория:Объекты, названные в честь Поля Дирака]]