Просмотр кода страницы Стодвадцатиячейник

{| class="wikitable" style="float:right; margin-left:10px" width="250"
! style="background-color:#e7dcc3" colspan="2" |Стодвадцатиячейник
|-
| align=center colspan="2"|[[Файл:Schlegel wireframe 120-cell.png|250px]]<br>[[Диаграмма Шлегеля]]: проекция ([[перспектива]]) стодвадцатиячейника в [[трёхмерное пространство]]
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Тип
|[[Правильные четырёхмерные многогранники|Правильный четырёхмерный политоп]]
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |[[Символ Шлефли]]
|{5,3,3}
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Ячеек||120
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Граней||720
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Рёбер||1200
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |Вершин||600
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |[[Вершинная фигура]]||[[Правильный тетраэдр]]
|-
| style="background-color:#e7dcc3" |[[Двойственный многогранник|Двойственный политоп]]
|[[Шестисотячейник]]
|}

[[Файл:120-cell net.png|thumb|250px|[[Развёртка]]]]

'''Пра́вильный стодвадцатияче́йник''', или просто '''стодвадцатияче́йник'''<ref>{{ВТ-ЭСБЕ|Четырехмерное пространство|[[Бобылёв, Дмитрий Константинович|Д. К. Бобылёв]]}}</ref> — один из шести [[Правильные многомерные многогранники|правильных многоячейников]] в [[Четырёхмерное пространство|четырёхмерном пространстве]]. Известен также под другими названиями: '''гекатоникосахор''' (от {{lang-grc|ἑκατόν}} — «сто», {{lang-grc2|εἴκοσι}} — «двадцать» и {{lang-grc2|χώρος}} — «место, пространство»), '''гипердодека́эдр''' (поскольку является четырёхмерным аналогом [[додекаэдр]]а), '''додекаплекс''' (то есть «комплекс додекаэдров»), '''полидодека́эдр'''. Двойственен [[шестисотячейник]]у.

Открыт [[Шлефли, Людвиг|Людвигом Шлефли]] в середине 1850-х годов<ref>[https://web.archive.org/web/20070207021813/http://members.aol.com/Polycell/glossary.html#Hecatonicosachoron George Olshevsky. Hecatonicosachoron] // Glossary for Hyperspace.</ref>. [[Символ Шлефли]] стодвадцатиячейника — {5,3,3}.

Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника.

== Описание ==
Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми [[додекаэдр]]ами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности <math>144^\circ.</math>

Его 720 двумерных граней — одинаковые [[Правильный пятиугольник|правильные пятиугольники]]. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.

== В координатах ==
Стодвадцатиячейник можно разместить в [[Прямоугольная система координат|декартовой системе координат]] так, чтобы:

* координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел <math>(0;0;\pm2;\pm2);</math>

* координаты 64 вершин — всевозможными перестановками <math>(\pm1;\pm1;\pm1;\pm\sqrt5);</math>

* координаты 64 вершин — всевозможными перестановками <math>(\pm\Phi^{-2};\pm\Phi;\pm\Phi;\pm\Phi),</math> где <math>\Phi = \frac{1+\sqrt5}{2}</math> — отношение [[Золотое сечение|золотого сечения]];

* координаты 64 вершин — всевозможными перестановками <math>(\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^{-1};\pm\Phi^2);</math>

* координаты 96 вершин — всевозможными [[Перестановка#Связанные определения|чётными перестановками]] <math>(0;\pm\Phi^{-2};\pm1;\pm\Phi^2);</math>

* координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками <math>(0;\pm\Phi^{-1};\pm\Phi;\pm\sqrt5);</math>

* координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками <math>(\pm\Phi^{-1};\pm1;\pm\Phi;\pm2).</math>

Начало координат <math>(0;0;0;0)</math> будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных [[3-сфера|трёхмерных гиперсфер]].

== Проекция вращающегося стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство ==
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:120-cell.gif|thumb|250px|Вид снаружи]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:120-cell-inner.gif|thumb|250px|Вид изнутри]]</div>
{{-}}

== Ортогональные проекции на плоскость ==
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:120-cell graph H4.svg|170px]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:120-cell t0 p20.svg|170px]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:120-cell t0 F4.svg|170px]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:120-cell t0 H3.svg|170px]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:120-cell t0 A2.svg|170px]]</div>
<div class="tleft" style="clear:none">[[Файл:120-cell t0 A3.svg|170px]]</div>
{{-}}

== Метрические характеристики ==
Если стодвадцатиячейник имеет ребро длины <math>a,</math> то его четырёхмерный [[гиперобъём]] и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

:<math>V_4 = \frac{15}{4}\left(105+47\sqrt5\right)a^4 \approx 787{,}8569810a^4,</math>
:<math>S_3 = 30\left(15+7\sqrt5\right)a^3 \approx 919{,}5742753a^3.</math>

Радиус описанной [[3-сфера|трёхмерной гиперсферы]] (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен
:<math>R = \frac{1}{2}\left(\sqrt{10}+3\sqrt2\right)a \approx 3{,}7024592a,</math>

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

:<math>\rho_1 = \frac{1}{2}\left(\sqrt{15}+2\sqrt3\right)a \approx 3{,}6685425a,</math>

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

:<math>\rho_2 = \sqrt{\frac{1}{10}\left(65+29\sqrt5\right)}\;a \approx 3{,}6034146a,</math>

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

:<math>r = \frac{1}{4}\left(7+3\sqrt5\right)a \approx 3{,}4270510a.</math>

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==
* {{mathworld|urlname=120-Cell|title=Стодвадцатиячейник}}
* {{YouTube|MFXRRW9goTs|Построение стодвадцатиячейника}}
* {{cite web
 |url         = http://www.dimensions-math.org/Dim_CH3_RU.htm
 |title       = Главы 3 и 4: Четвертое измерение
 |work        = Dimensions
 |publisher   = dimensions-math.org
 |archiveurl  = https://web.archive.org/web/20150304144443/http://www.dimensions-math.org/Dim_CH3_RU.htm
 |archivedate = 2015-03-04
}}

{{Навигация}}

{{Основные выпуклые правильные и однородные политопы в размерностях 2-10}}
{{Многогранники}}
{{Символ Шлефли}}

[[Категория:Многомерная евклидова геометрия]]
[[Категория:Многогранники]]