Просмотр кода страницы Суперизбыточное число

'''Суперизбыточное число''' (''SA'' от {{lang-en|superabundant}}) — натуральное число <math>n</math> такое, что для всех <math>m < n</math> выполнено

: <math>\frac{\sigma(m)}{m} < \frac{\sigma(n)}{n}~,</math>

где <math>\sigma</math> — [[функция делителей]] (то есть сумма всех положительных делителей числа <math>n</math>, включая <math>n</math>).

Первые несколько суперизбыточных чисел<ref>{{OEIS|id=A004394}}</ref>: [[1 (число)|1]], [[2 (число)|2]], [[4 (число)|4]], [[6 (число)|6]], [[12 (число)|12]], [[24 (число)|24]], [[36 (число)|36]], [[48 (число)|48]], [[60 (число)|60]], [[120 (число)|120]], …. Например, число 5 не является суперизбыточным числом, потому что для 1, 2, 3, 4 и 5 сигма равна 1, 3, 4, 7, 6, и 7/4 > 6/5.

Избыточные числа определялись{{уточнить}} [[Алаоглу, Леонидас|Леонидасом Алаоглу]] и [[Эрдёш, Пал|Палом Эрдёшем]]<ref name="LA1944PE">{{citation|first1=Леонидас|last1=Алаоглу|author1-link=Leonidas Alaoglu|first2=Пал|last2=Эрдёш|author2-link=Paul Erdős|year=1944|title=О cверхсоставных и похожих числах|journal=[[Transactions of the American Mathematical Society|Труды Американского математического общества]]|volume=56|issue=3|pages=448–469|doi=10.2307/1990319|publisher=[[Американское математическое общество]]|jstor=1990319}}{{уточнить}}<!--явно англоязычная библиоссылка--></ref>. Около 30 страниц статьи [[Сриниваса Рамануджан Айенгор|Рамануджана]] 1915 года «Сверхсоставные числа», которые были неизвестны Алаоглу и Эрдёшу, были закрыты{{уточнить}}. Эти страницы были наконец опубликованы в ''Журнале Рамануджана 1 (1997), 119—153''{{уточнить}}<!--лучше это всё оформить библиосноской-->. В разделе 59 этой статьи Рамануджан определяет обобщённые [[Сверхсоставное число|сверхсоставные числа]], которые включают в себя суперизбыточные числа.

== Свойства ==
[[Файл:Euler_diagram_numbers_with_many_divisors.svg|thumb|right|[[Диаграмма Эйлера]] [[Избыточные числа|избыточных]], [[Примитивно избыточные числа|примитивно избыточных]], [[Весьма избыточное число|весьма избыточных]], суперизбыточных, [[Колоссально избыточное число|колоссально избыточных]], [[Сверхсоставное число|сверхсоставных]], [[Весьма суперсоставное число|весьма суперсоставных]], [[Странное число|странных]] и [[Совершенное число|совершенных чисел]] меньше 100 по отношению к [[Недостаточные числа|недостаточным]] и [[Составное число|составным числам]].]]
Леонидас Алаоглу и Пал Эрдёш ([[1944 год|1944]]<ref name="LA1944PE"/>) доказали, что если <math>n</math> суперизбыточно, то существуют <math>k</math> и <math>a_1, a_2, \dotsb, a_k</math> такие, что

: <math>n=\prod_{i=1}^k (p_i)^{a_i}~,</math>

где:
:<math>p_i</math> —  <math>i</math>-е простое число;
: <math>a_1\geqslant a_2\geqslant \dotsb \geqslant a_k\geqslant 1~.</math>

То есть, они доказали, что если <math>n</math> является суперизбыточным, разложение <math>n</math> на простые числа имеет невозрастающие показатели (показатель большего простого числа никогда не больше, чем это меньшее простое число) и что все простые числа вплоть до <math> p_k </math> — множители <math>n</math>. Тогда, в частности, любое суперизбыточное число является чётным целым числом, кратным <math>k</math>-му [[Простое число|простому]] <math>p_k\#</math>.

Фактически, последний показатель степени <math>a_k</math> равен 1, кроме случаев, когда <math>n</math> равно 4 или 36.

Суперизбыточные числа тесно связаны со сверхсоставными. Не все суперизбыточные числа являются сверхсоставными числами. Фактически, только 449 суперизбыточных и сверхсоставных чисел совпадают ({{OEIS|id=A166981}}). Например, 7560 сверхсоставно, но не суперизбыточно. Напротив, 1163962800 суперизбыточно, но не сверхсоставно.

Алаоглу и Эрдёш заметили, что все избыточные числа [[Весьма избыточное число|весьма избыточные]].

Не все суперизбыточные числа являются [[Числа харшад|числами харшад]]. Первым исключением является 105-й номер SA — 149602080797769600. Сумма цифр равна 81, но 81 не делится на этот номер SA равномерно.

Суперизбыточные числа также представляют интерес в связи с [[Гипотеза Римана|гипотезой Римана]] и [[теорема Робина|теоремой Робина]] в связи с тем, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению:
: <math>\frac{\sigma(n)}{e^\gamma n\log\log n} < 1</math>
для всех <math>n</math>, превышающих наибольшее известное исключение, суперизбыточное число 5040. Если это неравенство имеет больший контрпример, доказывающий ложность гипотезы Римана, наименьший такой контрпример должен быть суперизбыточным числом{{Sfn|Акбари — Фриггстад|2009}}.

Не все суперизбыточные числа являются [[Колоссально избыточное число|колоссально избыточными]].

== Обобщение ==
''Обобщённые <math>k</math>-суперизбыточные числа'' — такие числа, что <math>\textstyle \frac{\sigma_k(m)}{m^k} < \frac{\sigma_k(n)}{n^k}</math> для всех <math>m < n</math>, где <math>\sigma_k(n)</math> является суммой <math>k</math>-х степеней делителей <math>n</math>.

1-суперизбыточные числа — суперизбыточные числа. 0-суперизбыточные числа — сверхсоставные числа.

Например, обобщёнными 2-суперизбыточными числами являются<ref>{{OEIS|A208767}}</ref> 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, …

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* {{статья|автор = Keith Briggs | заглавие = Abundant numbers and the Riemann hypothesis | издание = [[Experimental Mathematics]] | том = 15| год = 2006| страницы = 251–256 | ref = Бриггс}}
* {{статья | doi = 10.4169/193009709X470128 | автор = Amir Akbary, Zachary Friggstad | заглавие = Superabundant numbers and the Riemann hypothesis | ссылка = https://archive.org/details/sim_american-mathematical-monthly_2009-03_116_3/page/273 | издание =  [[American Mathematical Monthly]] | том = 116 | выпуск = 3 | год = 2009 | страницы = 273–275 | ref = Акбари — Фриггстад}}

== Ссылки ==
* [http://mathworld.wolfram.com/SuperabundantNumber.html MathWorld: Суперизбыточное число]

{{Числа по характеристикам делимости}}
{{Классы натуральных чисел}}

[[Категория:Теория чисел]]
[[Категория:Арифметические функции]]
[[Категория:Целочисленные последовательности]]