Суперизбыточное число

Суперизбыточное число (SA от Шаблон:Lang-en) — натуральное число $n$ такое, что для всех $m<n$ выполнено

$\frac{\sigma (m)}{m}<\frac{\sigma (n)}{n},$

где $\sigma$ — функция делителей (то есть сумма всех положительных делителей числа $n$, включая $n$).

Первые несколько суперизбыточных чисел: 1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, …. Например, число 5 не является суперизбыточным числом, потому что для 1, 2, 3, 4 и 5 сигма равна 1, 3, 4, 7, 6, и 7/4 > 6/5.

Избыточные числа определялисьШаблон:Уточнить Леонидасом Алаоглу и Палом Эрдёшем. Около 30 страниц статьи Рамануджана 1915 года «Сверхсоставные числа», которые были неизвестны Алаоглу и Эрдёшу, были закрытыШаблон:Уточнить. Эти страницы были наконец опубликованы в Журнале Рамануджана 1 (1997), 119—153Шаблон:Уточнить. В разделе 59 этой статьи Рамануджан определяет обобщённые сверхсоставные числа, которые включают в себя суперизбыточные числа.

Свойства

Диаграмма Эйлера избыточных, примитивно избыточных, весьма избыточных, суперизбыточных, колоссально избыточных, сверхсоставных, весьма суперсоставных, странных и совершенных чисел меньше 100 по отношению к недостаточным и составным числам.

Леонидас Алаоглу и Пал Эрдёш (1944) доказали, что если $n$ суперизбыточно, то существуют $k$ и $a_1,a_2,\cdots ,a_k$ такие, что

$n=\prod _{i=1}^k(p_i{)}^{a_i},$

где:

$p_i$ — $i$-е простое число;

$a_1⩾a_2⩾\cdots ⩾a_k⩾1.$

То есть, они доказали, что если $n$ является суперизбыточным, разложение $n$ на простые числа имеет невозрастающие показатели (показатель большего простого числа никогда не больше, чем это меньшее простое число) и что все простые числа вплоть до $p_k$ — множители $n$. Тогда, в частности, любое суперизбыточное число является чётным целым числом, кратным $k$-му простому $p_k\mathrm{\#}$.

Фактически, последний показатель степени $a_k$ равен 1, кроме случаев, когда $n$ равно 4 или 36.

Суперизбыточные числа тесно связаны со сверхсоставными. Не все суперизбыточные числа являются сверхсоставными числами. Фактически, только 449 суперизбыточных и сверхсоставных чисел совпадают (Шаблон:OEIS). Например, 7560 сверхсоставно, но не суперизбыточно. Напротив, 1163962800 суперизбыточно, но не сверхсоставно.

Алаоглу и Эрдёш заметили, что все избыточные числа весьма избыточные.

Не все суперизбыточные числа являются числами харшад. Первым исключением является 105-й номер SA — 149602080797769600. Сумма цифр равна 81, но 81 не делится на этот номер SA равномерно.

Суперизбыточные числа также представляют интерес в связи с гипотезой Римана и теоремой Робина в связи с тем, что гипотеза Римана эквивалентна утверждению:

$\frac{\sigma (n)}{e^{\gamma }n\log \log n}<1$

для всех $n$, превышающих наибольшее известное исключение, суперизбыточное число 5040. Если это неравенство имеет больший контрпример, доказывающий ложность гипотезы Римана, наименьший такой контрпример должен быть суперизбыточным числомШаблон:Sfn.

Не все суперизбыточные числа являются колоссально избыточными.

Обобщение

Обобщённые $k$-суперизбыточные числа — такие числа, что $\frac{{\sigma }_k(m)}{m^k}<\frac{{\sigma }_k(n)}{n^k}$ для всех $m<n$, где ${\sigma }_k(n)$ является суммой $k$-х степеней делителей $n$.

1-суперизбыточные числа — суперизбыточные числа. 0-суперизбыточные числа — сверхсоставные числа.

Например, обобщёнными 2-суперизбыточными числами являются 1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, …

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• MathWorld: Суперизбыточное число