Просмотр кода страницы Сферы Берже

'''Сферы Берже''' — однопараметрическое семейство [[риманово многообразие|римановых многообразий]] [[диффеоморфизм|диффеоморфных]] трёхмерной [[сфера|сфере]], которое часто используется как пример в различных вопросах [[риманова геометрия|римановой геометрии]].
Названы в честь [[Берже, Марсель|Марселя Берже]].

Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв [[расслоение Хопфа|расслоения Хопфа]].

== Построение ==

Рассмотрим <math>\mathbb S^3</math> как сферу в комплексном пространстве <math>\mathbb C^2</math>.
На ней действует <math>\mathbb S^1\subset \mathbb C</math> комплексными умножениями.
Таким образом на <math>\R\times \mathbb S^3</math> можно построить изометрическое действие <math>\R\times \mathbb S^1</math> с помощью комплексных поворотов <math>\mathbb S^3</math> и сдвигов по <math>\R</math>.
В <math>\R\times \mathbb S^1</math> есть однопараметрическое семейство подгрупп <math>\R_\alpha</math> изоморфных <math>\R</math>, с элементами типа <math>(t,e^{\alpha t})\in \R\times \mathbb S^1</math>.
Фактор <math>\R\times \mathbb S^3</math> по действию <math>\R_\alpha</math> диффеоморфен <math>\mathbb S^3</math>, но индуцированная риманова метрика <math>g_\alpha</math> на нём отличается от стандартной.
Полученное риманово многообразие <math>(\mathbb S^3, g_\alpha)</math> называется сферой Берже.

== Свойства ==
* Из [[формула О’Нэйла|формулы О’Нэйла]], [[секционная кривизна]] <math>g_\alpha</math> положительна.
* При <math>\alpha\to\infty</math> пространства <math>(\mathbb S^3, g_\alpha)</math> [[Коллапс (геометрия)|коллапсируют]] к <math>\mathbb S^2_{1/2}</math>, стандартной 2-сфере радиуса <math>1/2</math>.
* При <math>\alpha\to\infty</math>, [[тензор кривизны]] <math>(\mathbb S^3, g_\alpha)</math> сходится к тензору кривизны пространства <math>\R\times \mathbb \mathbb S^2_{1/2}</math>.
* Сферы Берже являются частным случаем левоинвариантных метрик на <math>\mathbb S^3=Spin_4</math>.
* Круговые сферы в [[Комплексная проективная плоскость|комплексной проективной плоскости]] <math>\mathbb C P^2</math> с [[метрика Фубини — Штуди|метрикой Фубини — Штуди]] с точностью до коэффициента являются сферами Берже.
* На сферах Берже, окружности в [[расслоение Хопфа|расслоении Хопфа]] образуют двупараметрическое семейство замкнутых [[геодезическая|геодезических]], которые при достаточно больших <math>\alpha</math> являются стабильными, (то есть нельзя добиться уменьшения их длины небольшими шевелениями).

[[Категория:Риманова (и псевдориманова) геометрия]]