Сферы Берже

Сферы Берже — однопараметрическое семейство римановых многообразий диффеоморфных трёхмерной сфере, которое часто используется как пример в различных вопросах римановой геометрии. Названы в честь Марселя Берже.

Все сферы Берже могут быть получены сжатием стандартной метрики на трёхмерной сфере вдоль слоёв расслоения Хопфа.

Построение

Рассмотрим ${𝕊}^3$ как сферу в комплексном пространстве ${ℂ}^2$. На ней действует ${𝕊}^1\subset ℂ$ комплексными умножениями. Таким образом на $ℝ\times {𝕊}^3$ можно построить изометрическое действие $ℝ\times {𝕊}^1$ с помощью комплексных поворотов ${𝕊}^3$ и сдвигов по $ℝ$. В $ℝ\times {𝕊}^1$ есть однопараметрическое семейство подгрупп ${ℝ}_{\alpha }$ изоморфных $ℝ$, с элементами типа $(t,e^{\alpha t})\in ℝ\times {𝕊}^1$. Фактор $ℝ\times {𝕊}^3$ по действию ${ℝ}_{\alpha }$ диффеоморфен ${𝕊}^3$, но индуцированная риманова метрика $g_{\alpha }$ на нём отличается от стандартной. Полученное риманово многообразие $({𝕊}^3,g_{\alpha })$ называется сферой Берже.

Свойства

• Из формулы О’Нэйла, секционная кривизна $g_{\alpha }$ положительна.
• При $\alpha \to \mathrm{\infty }$ пространства $({𝕊}^3,g_{\alpha })$ коллапсируют к ${𝕊}_{1/2}^2$, стандартной 2-сфере радиуса $1/2$.
• При $\alpha \to \mathrm{\infty }$, тензор кривизны $({𝕊}^3,g_{\alpha })$ сходится к тензору кривизны пространства $ℝ\times {𝕊}_{1/2}^2$.
• Сферы Берже являются частным случаем левоинвариантных метрик на ${𝕊}^3=Spi{n}_4$.
• Круговые сферы в комплексной проективной плоскости $ℂP^2$ с метрикой Фубини — Штуди с точностью до коэффициента являются сферами Берже.
• На сферах Берже, окружности в расслоении Хопфа образуют двупараметрическое семейство замкнутых геодезических, которые при достаточно больших $\alpha$ являются стабильными, (то есть нельзя добиться уменьшения их длины небольшими шевелениями).