Комплексная проективная плоскость

Шаблон:ЛП Комплексная проективная плоскость — двумерное Шаблон:Не переведено 5; является двумерным комплексным многообразием, его вещественная размерность равна 4.

Обычно обозначается $ℂ{\mathrm{P}}^2$.

Построение

Точки на комплексной проективной плоскости и описывается однородными комплексными координатами

$(z_1,z_2,z_3)\in {ℂ}^3,(z_1,z_2,z_3)\ne (0,0,0).$

При этом тройки, отличающиеся на скаляр, считаются идентичными:

$(z_1,z_2,z_3)\equiv (\lambda z_1,\lambda z_2,\lambda z_3);\lambda \in ℂ,\lambda \ne 0.$

Топология

• $ℂ{\mathrm{P}}^2$ гомеоморфно фактору 5-мерной сферы ${𝕊}^5\subset {ℂ}^3$ по действию Хопфа ${𝕊}^1$.

• Числа Бетти:

  1, 0, 1, 0, 1, 0, 0, .....

• $ℂ{\mathrm{P}}^2$ односвязно, его фундаментальная группа тривиальна.
• Нетривиальными гомотопическими группами комплексной проективной плоскости являются

  ${\pi }_2ℂ{\mathrm{P}}^2={\pi }_5ℂ{\mathrm{P}}^2=\mathbb{Z}$.

в старших размерностях, гомотопические группы те же, что у 5-мерной сферы.

Алгебраическая геометрия

В бирациональной геометрии комплексная рациональная поверхность — это любая алгебраическая поверхность, бирационально эквивалентная комплексной проективной плоскости. Известно, что любое несингулярное рациональное многообразие получается из плоскости в результате последовательности преобразований раздутия и обратных им («стягиваний») кривых, которые должны быть очень специфичного вида. В качестве частного случая несингулярные комплексные поверхности второго порядка в P³ получаются из плоскости путём раздутия двух точек до кривых, а затем стягивание прямой через эти две точки. Обратные им преобразования можно видеть, если взять точку P на поверхности Q второго порядка, раздуть её, и спроектировать на обычную плоскость в P³ путём проведения прямых через P.

Группой бирациональных автоморфизмов комплексной проективной плоскости является группа Кремоны.

Дифференциальная геометрия

Комплексная проективная плоскость есть 4-мерное многообразиее. Оно обладает естественной метрикой, так называемой метрикой метрикой Фубини — Штуди с 1/4-защеплённой секционной кривизной; то есть её максимальная секционная кривизна равна 4 а минимальная равна 1. Эта метрика инициируется на факторе $ℂ{\mathrm{P}}^2={𝕊}^5/{𝕊}^1$ по действию Хопфа ${𝕊}^1$ на ${𝕊}^5$.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Фальшивая проективная плоскость

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:MathWorld