Просмотр кода страницы Теорема Банаха — Мазура

'''Теорема Банаха — Мазура''' утверждает, что [[Нормированное пространство|нормированные пространства]] являются [[Векторное подпространство|подпространствами]] пространства [[Непрерывное отображение|непрерывных функций]] на отрезке.
Названа в честь [[Банах, Стефан|Стефана Банаха]] и [[Мазур, Станислав (математик)|Станислава Мазура]].

== Формулировка ==

Любое [[Вещественное число|вещественное]] [[Сепарабельное пространство|сепарабельное]] [[банахово пространство]] [[Изометрия (математика)|изометрически изоморфно]] [[Замкнутое множество|замкнутому]] подпространству пространства всех [[Непрерывное отображение|непрерывных функций]] от единичного [[Промежуток (математика)|интервала]] до вещественной прямой.

== Вариации и обобщения ==

Несепарабельные банаховы пространства не могут изометрически вкладываться в сепарабельное пространство <math>C^0([0,1],\R)</math>, но для каждого банахова пространства {{Mvar|X}} можно найти [[Компактное пространство|компактное]] [[хаусдорфово пространство]] {{Mvar|K}} и изометрическое линейное вложение {{Mvar|j}} из {{Mvar|X}} в пространство {{Math|C(''K'')}} вещественных непрерывных функций на {{Mvar|K}}.
За {{Mvar|K}} можно взять единичный шар [[Двойственное пространство|двойственного пространства]] {{Math|''X''&thinsp;′}}, оснащенного w *-топологией.
Этот шар компактен по [[Теорема Алаоглу|теореме Алаоглу]].
Вложение определяется как
: <math> \forall x' \in K: \qquad j(x)(x') = x'(x).</math>
Отображение {{Mvar|j}} является линейным, и оно изометрично по [[Теорема Хана — Банаха|теореме Хана — Банаха]].
== Литература ==
[[Агеев, Сергей Михайлович|Агеев С.М.]], [[Богатый, Семеон Антонович|Богатый С.А.]] О негомеоморфности компакта Банаха-Мазура и гильбертова куба // УМН. — 2007. — Т. 53, № 1. — С. 209—210.
[[Категория:Теоремы функционального анализа]]
[[Категория:Функциональный анализ]]