Теорема Банаха — Мазура

Теорема Банаха — Мазура утверждает, что нормированные пространства являются подпространствами пространства непрерывных функций на отрезке. Названа в честь Стефана Банаха и Станислава Мазура.

Формулировка

Любое вещественное сепарабельное банахово пространство изометрически изоморфно замкнутому подпространству пространства всех непрерывных функций от единичного интервала до вещественной прямой.

Вариации и обобщения

Несепарабельные банаховы пространства не могут изометрически вкладываться в сепарабельное пространство $C^0([0,1],ℝ)$, но для каждого банахова пространства Шаблон:Mvar можно найти компактное хаусдорфово пространство Шаблон:Mvar и изометрическое линейное вложение Шаблон:Mvar из Шаблон:Mvar в пространство Шаблон:Math вещественных непрерывных функций на Шаблон:Mvar. За Шаблон:Mvar можно взять единичный шар двойственного пространства Шаблон:Math, оснащенного w *-топологией. Этот шар компактен по теореме Алаоглу. Вложение определяется как

$\mathrm{\forall }{x}^{\prime }\in K:j(x)(x^{\prime })=x^{\prime }(x).$

Отображение Шаблон:Mvar является линейным, и оно изометрично по теореме Хана — Банаха.

Литература

Агеев С.М., Богатый С.А. О негомеоморфности компакта Банаха-Мазура и гильбертова куба // УМН. — 2007. — Т. 53, № 1. — С. 209—210.