Просмотр кода страницы Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

[[Файл:On Weierstrass’s Theorem on the holomorphy of uniform limits.svg|thumb|250px|Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций]]

'''Теоре́ма Вейерштра́сса о равноме́рно сходя́щихся ряда́х аналити́ческих фу́нкций'''<ref name="англ">Перевод на англ. см. в закладке «Обсуждение» статьи</ref>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 265}}{{sfn|''Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.'' Методы теории функций комплексного переменного, 1973|loc=19. Степенный ряды, с. 68}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 3), 1977}}{{sfn|''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций, 1968|loc=§ 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 318, 319}}, или просто '''теорема Вейерштрасса'''{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 16. Функциональные ряды, с. 56}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=5. Простейшие свойства голоморфных функций, с. 34; Предметный указатель, с. 396}}, или '''теорема Вейерштрасса о рядах'''{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=Предметный указатель, с. 418}}{{sfn|''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций, 1968|loc=§ 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 69, 72; Предметный указатель, с. 647}} (1859{{sfn|''Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.'' Методы теории функций комплексного переменного, 1973|loc=19. Степенный ряды, с. 68}}) — следующая [[теорема]] [[Комплексный анализ|комплексного анализа]], раздела [[Математика|математики]]{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 120}}.

{{рамка}}
Если [[Бесконечность#Бесконечные ряды|бесконечный]] [[Функциональный ряд|ряд функций]], [[Аналитическая функция|аналитических]] в некоторой [[Область (математика)|области]] [[Комплексная плоскость|комплексной плоскости]], [[Равномерная сходимость|сходится равномерно]] в любой [[Замкнутое множество|замкнутой подобласти]] данной области, то:
: 1)&nbsp;[[Сумма ряда|сумма]] ряда определяет аналитическую функцию в исходной области;
: 2)&nbsp;ряд можно {{iw|Член ряда|почленно|en|Series term}} [[Комплексный анализ#Дифференцирование|дифференцировать]] любое количество раз{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 120}}{{sfn|''Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.'' Методы теории функций комплексного переменного, 1973|loc=19. Степенный ряды, с. 68—69}}{{sfn|''Половинкин Е. С.'' Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999|loc=§ 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 64—65}}{{sfn|''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций, 1968|loc=§ 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 72; § 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 319}}.
{{конец рамки}}

Теорема Вейерштрасса определяет условия, при которых сумма сходящегося ряда аналитических функций будет снова аналитической. Этим условием и является равномерная сходимость ряда в данной области или как минимум в любой замкнутой подобласти{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190}}.

Первая часть теоремы Вейерштрасса говорит о том, что равномерный переход к пределу сохраняет свойство аналитичности, вторая — что для аналитических функций условия почленного дифференцирования рядов проще, чем в обычном анализе{{sfn|''Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.'' Методы теории функций комплексного переменного, 1973|loc=19. Степенный ряды, с. 68—69}}.

Существует эквивалентная формулировка теоремы Вейерштрасса, в которой вместо сходящего ряда используется сходящаяся последовательность{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=5. Простейшие свойства голоморфных функций, с. 34}}{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=Глава V. Последовательности голоморфных функций… § 1. Равномерно сходящиеся последовательности голоморфных функций, с. 158}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.7 Limits of holomorphic functions, p. 14}}. Также при доказательстве теоремы Вейерштрасса о рядах могут сразу перейти к последовательностям{{sfn|''Половинкин Е. С.'' Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999|loc=§ 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 64—67}}.

'''Замечание.''' Теорема Вейерштрасса лежит в основе изучении одинарных и [[Кратный ряд|кратных рядов]], составленных из аналитических функций{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50}}. Теорема специфична не для [[Действительное число|действительных]], а именно для [[Комплексное число|комплексных]] функциональных рядов{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 16. Функциональные ряды, с. 56}}. Для действительных чисел нет такой простой теоремы, поскольку равномерно сходящийся ряд действительных функций в общем случае почленно не дифференцируется{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190}}. Для почленного дифференцирования ряда действительных функций требуется не только сходимость ряда, но ещё и равномерная сходимость ряда из производных{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 120}}.

Применяя теорему Вейерштрасса, нельзя забывать, что она говорит о рядах голоморфных функций, которые сходятся в области, то есть в [[Открытое множество|открытом]] [[Связное множество|связном множестве]]. В случае неоткрытого множества теорема Вейерштрасса может быть неверна{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 267}}.

Авторы могут говорить не об одной теореме Вейерштрасса, а о двух, нумеруя обе части теоремы: '''первая и вторая теоремы Вейерштрасса'''{{sfn|''Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.'' Методы теории функций комплексного переменного, 1973|loc=19. Степенный ряды, с. 68—69}}{{sfn|''Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И.'' Лекции по теории функций комплексного переменного, 1989|loc=§ 12. Свойства регулярных функций, с. 93—94}}{{sfn|''Половинкин Е. С.'' Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999|loc=§ 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 64—65}}.

С другой стороны, эту теорему иногда называют '''первой теоремой Вейерштрасса'''{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190}}, подразумевая под '''''второй теоремой Вейерштрасса'''''{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 2. Ряд Тейлора, с. 208}} [[#Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области|теорему Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области]]{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 4), 1977}}.

Теорема Вейерштрасса обобщается на ряды аналитических функций многих комплексных переменных, сохраняя название и формулировку{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 3), 1977}}. Также интегрирование функции по кривой или поверхности, замыкание которых принадлежит исходной ограниченной области, производится почленным интегрированием исходного ряда. Аналогичные предложения имеют место и для кратных рядов, составленных из голоморфных функций. Доказательство этих теорем осуществляется так же, как в 
случае одного переменного{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50}}.

== Первая часть теоремы Вейерштрасса ==
{{рамка}}
'''''Первая часть теоремы Вейерштрасса.''''' '''Дано:''' ''бесконечный ряд функций''
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)</math>,
''[[Аналитическая функция|аналитических]] в некоторой области <math>D</math> комплексной плоскости <math>\C</math>, <math>D \subseteq \C</math>, причём ряд [[Равномерная сходимость|равномерно сходится]] к сумме <math>f(z)</math> в любой замкнутой области <math>\bar{D'}</math>, полностью находящейся в исходной области <math>D</math>, <math>\bar{D'} \subset D</math>.'' '''Доказать:''' ''в области <math>D</math> функция <math>f(z)</math> аналитическая{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 265}}{{sfn|''Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.'' Методы теории функций комплексного переменного, 1973|loc=19. Степенный ряды, с. 68}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 3), 1977}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 16. Функциональные ряды, с. 58}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 120—121}}{{sfn|''Фукс Б. А., Шабат Б. В.'' Функции комплексного переменного и некоторые приложения, 1964|loc=59. Теорема Вейерштрасса, с. 223}}{{sfn|''Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И.'' Лекции по теории функций комплексного переменного, 1989|loc=§ 12. Свойства регулярных функций, с. 93}}{{sfn|''Половинкин Е. С.'' Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999|loc=§ 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 64}}.''
{{конец рамки}}

Первая часть теоремы Вейерштрасса доказывается при помощи [[Интегральная формула Коши|интегральной формулы Коши]]; тогда вторая часть теоремы Вейерштрасса следует из [[Неравенства Коши|неравенств Коши]]{{sfn|''Эрве М.'' Функции многих комплексных переменных, 1965|loc=Глава I. Основные свойства голоморфных функций многих переменных. 4, с. 14}}.

Приведём четыре разных доказательства первой части этой теоремы. Второе доказательство использует [[Теорема Мореры|теорему Мореры]]{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190—191}}. Третье доказательство непосредственное и универсальное, по его схеме доказывается также и вторая часть теоремы Вейерштрасса{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 16. Функциональные ряды, с. 58—59}}. При четвёртом доказательстве осуществляется переход от рядов функций к [[Последовательность|последовательностям]] функций{{sfn|''Половинкин Е. С.'' Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999|loc=§ 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 65—66}}.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство 1{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190—191}}{{sfn|''Фукс Б. А., Шабат Б. В.'' Функции комплексного переменного и некоторые приложения, 1964|loc=59. Теорема Вейерштрасса, с. 223—225}}
| Содержание    =
'''1. Непрерывность суммы ряда.''' Так как ряд
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)</math>
сходится равномерно, то, по [[Теорема о непрерывности суммы ряда|теореме о непрерывности суммы ряда]], его сумма <math>f(z)</math> — непрерывная функция в любой замкнутой области <math>\bar{D'} \subset D</math>, следовательно, и во всей области <math>D</math>. Осталось доказать, что в любой точке <math>z_0</math> области <math>D</math> у функции <math>f(z)</math> есть [[Ограниченная функция|конечная]] [[Производная функции|производная]].

[[Файл:On Weierstrass’s Theorem on the holomorphy of uniform limits.svg|thumb|250px|Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций]]

'''2. Замкнутый контур.''' Построим вокруг произвольной точки <math>z_0 \in D</math> [[Замкнутая кривая|замкнутый]] {{iw|Кусочно-гладкая кривая|кусочно-гладкий контур|en|Plane curve}} <math>C</math> такой, что сам контур и его внутренность лежат в области <math>D</math>. На этом контуре <math>C</math> данный ряд сходится равномерно по условию теоремы. Пусть <math>w</math> — любая точка на контуре <math>C</math>, а <math>z</math> — любая точка внутри контура <math>C</math>. Тогда разделим все члены ряда на разность <math>w - z</math>, получим ряд
: <math>\frac{f(w)}{w - z} = \frac{f_1(w)}{w - z} + \frac{f_2(w)}{w - z} + \cdots + \frac{f_k(w)}{w - z} + \cdots</math>,
который равномерно сходится для любых точек <math>z \in C</math>. Такой ряд, согласно [[теореме об интегрировании равномерно сходящегося ряда]], почленно [[Интегрирование|интегрируется]] вдоль замкнутой кривой <math>C</math>.

'''3. Интегрирование вдоль контура.''' Проинтегрируем ряд вдоль замкнутой кривой <math>C</math>, поделив все члены ряда на <math>2\pi i</math>:
: <math>\frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(w)dw}{w - z} = \frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f_1(w)dw}{w - z} +</math>
:: <math>{}+ \frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f_2(w)dw}{w - z} + \cdots + \frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f_k(w)dw}{w - z} + \cdots</math>,
и поскольку функции <math>f_k(z)</math> аналитические всюду внутри контура <math>C</math> и на самом контуре по условию теоремы, то, по [[Интегральная формула Коши|интегральной формуле Коши]], перепишем последний ряд в следующем виде:
: <math>\frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(w)dw}{w - z} = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots</math>,
то есть снова в виде интегральной формуле Коши
: <math>f(z) = \frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(w)dw}{w - z}</math>.

'''4. Конечная производная.''' Поскольку последняя интегральной формуле Коши для функции 
<math>f(z)</math> верна для всех внутренних точек <math>z</math> контура <math>C</math>, то, в силу [[Интегральная формула Коши#Аналитичность голоморфных функций|соответствующей теоремы]], во всех этих точках <math>f(z)</math> имеет конечную производную
: <math>f'(z) = \frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(w)dw}{(w - z)^2}</math>,
в частности, у функции <math>f(z)</math> есть конечная производная в точке <math>z = z_0</math>. Но <math>z_0</math> — это, по определению, любая точка области <math>D</math>, следовательно, в области <math>D</math> функция <math>f(z)</math> аналитическая, что и требовалось доказать.
}}

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство 2{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 191—192}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 121}}{{sfn|''Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.'' Методы теории функций комплексного переменного, 1973|loc=19. Степенный ряды, с. 69}}{{sfn|''Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И.'' Лекции по теории функций комплексного переменного, 1989|loc=§ 12. Свойства регулярных функций, с. 93}}{{sfn|''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций, 1968|loc=§ 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 319}}
| Содержание    =
'''1. Непрерывность суммы ряда.''' Так как ряд
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)</math>
сходится равномерно, то, по [[Теорема о непрерывности суммы ряда|теореме о непрерывности суммы ряда]], его сумма <math>f(z)</math> — непрерывная функция в любой замкнутой области <math>\bar{D'} \subset D</math>, следовательно, и во всей области <math>D</math>.

[[Файл:On Weierstrass’s Theorem on the holomorphy of uniform limits.svg|thumb|250px|Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций]]

'''2. Замкнутый контур.''' Построим вокруг произвольной точки <math>z_0 \in D</math> [[Замкнутая кривая|замкнутый]] {{iw|Кусочно-гладкая кривая|кусочно-гладкий контур|en|Plane curve}} <math>C</math> такой, что сам контур и его внутренность лежат в области <math>D</math>. На этом контуре <math>C</math> данный ряд сходится равномерно по условию теоремы. Следовательно, он [[Интегрирование|интегрируется]] почленно вдоль кривой <math>C</math>:
: <math>\int\limits_C f(w)dw = \int\limits_C f_1(w)dw +</math>
:: <math>{}+ \int\limits_C f_2(w)dw + \cdots + \int\limits_C f_k(w)dw + \cdots</math>,
а поскольку все функции <math>f_k(z)</math> аналитические внутри и на контуре <math>C</math>, то по [[Интегральная теорема Коши|интегральной теореме Коши]]
: <math>\int\limits_C f_k(w)dw = 0,\quad k = 1,\, 2,\, 3,\, \dots</math>,
откуда
: <math>\int\limits_C f(w)dw = 0</math>.

'''3. Теорема Мореры.''' Получили, что сумма ряда из условия теоремы — это непрерывная функция <math>f(z)</math> в области <math>D</math>, причём интеграл <math>\int\limits_C f(w)dw = 0</math> берётся вдоль любого замкнутого контура <math>C</math> из некоторой окрестности точки <math>z_0</math>. Тогда, по [[Теорема Мореры|теореме Мореры]], функция <math>f(z)</math> в указанной выше окрестности точки <math>z_0</math> аналитическая. Но <math>z_0</math> — это, по определению, любая точка области <math>D</math>, следовательно, в области <math>D</math> функция <math>f(z)</math> аналитическая, что и требовалось доказать.
}}

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство 3{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 16. Функциональные ряды, с. 58—59}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 266—267}}
| Содержание    =
[[Файл:On Weierstrass’s Theorem on the holomorphy of uniform limits 2.svg|thumb|250px|Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций]]

'''1. Окрестность точки.''' Рассмотрим любую точку <math>z_0</math> области <math>D</math>, <math>z_0 \in D</math>. Построим окружность <math>\Gamma\colon |z - z_0| = 2d</math> с центром в точке <math>z_0</math> и такого маленького радиуса <math>2d > 0</math>, чтобы она и весь замкнутый круг <math>|z - z_0| \leqslant 2d</math> принадлежали области <math>D</math>. Осталось доказать, что сумма ряда <math>f(z)</math> из условия теоремы — это аналитическая функция в {{s|<math>d</math>-окрестности}} <math>|z - z_0| < d</math> точки <math>z_0</math>.

'''2. Равномерная сходимость.''' Возьмём две произвольные точки: <math>w</math> на окружности <math>\Gamma</math>, <math>w \in \Gamma</math>, и <math>z</math> в {{s|<math>d</math>-окрестности}} <math>|z - z_0| < d</math>. Преобразуем ряд
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots</math>
из условия теоремы, заменив <math>z</math> на <math>w</math> и умножив на <math>\frac1{2\pi i(w - z)}</math>, получим:
: <math>\frac1{2\pi i}\frac{f(w)}{w - z} = \frac1{2\pi i}\frac{f_1(w)}{w - z} + \frac1{2\pi i}\frac{f_2(w)}{w - z} + \cdots + \frac1{2\pi i}\frac{f_k(w)}{w - z} + \cdots</math>,
а поскольку исходный ряд из условия теоремы равномерно сходится на окружности <math>\Gamma</math>, причём
: <math>\left|\frac1{2\pi i(w - z)}\right| < \frac1{2\pi d}</math>,
то новый ряд также равномерно сходится на окружности <math>\Gamma</math> и его можно почленно интегрировать. По [[Интегральная формула Коши|интегральной формуле Коши]] интеграл от каждого члена нового ряда равен <math>f_k(z)</math>, и получаем:
: <math>\frac1{2\pi i}\int\limits_\Gamma\frac{f(w)dw}{w - z} = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = f(z)</math>,
то есть в {{s|<math>d</math>-окрестности}} точки <math>z_0</math> сумма ряда <math>f(z)</math> из условия теоремы [[Интегральная формула Коши|представлена интегралом типа Коши]]:
: <math>f(z) = \frac1{2\pi i}\int\limits_\Gamma\frac{f(w)dw}{w - z}</math>,
а это означает, что <math>f(z)</math> — аналитическая функция в точке <math>z_0</math>. Но <math>z_0 \in D</math> — произвольная точка, поэтому <math>f(z)</math> — аналитическая функция в области <math>D</math>.
}}

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство 4{{sfn|''Половинкин Е. С.'' Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999|loc=§ 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 65—66}}
| Содержание    =
Пусть <math>S_N(z)</math> — [[частичная сумма]] исходного ряда
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)</math>,
то есть
: <math>S_N(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_N(z) = \sum\limits_{k=1}^N f_k(z)</math>.

[[Файл:On Weierstrass’s Theorem on the holomorphy of uniform limits 2.svg|thumb|250px|Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций]]

'''1. Окрестность точки.''' Рассмотрим любую точку <math>z_0</math> области <math>D</math>, <math>z_0 \in D</math>. Построим окружность <math>\Gamma\colon |z - z_0| = 2d</math> с центром в точке <math>z_0</math> и такого маленького радиуса <math>2d > 0</math>, чтобы она и весь замкнутый круг <math>|z - z_0| \leqslant 2d</math> принадлежали области <math>D</math>. Осталось доказать, что сумма предел последовательности <math>S_N(z)</math> — это аналитическая функция в {{s|<math>d</math>-окрестности}} <math>|z - z_0| < d</math> точки <math>z_0</math>.

'''2. Равномерная сходимость.''' Поскольку для любого <math>N \in \N</math> новая функция <math>S_N(z)</math> аналитична в области <math>D</math>, то по [[Интегральная формула Коши|интегральной формуле Коши]] для любого <math>z \in \Gamma</math>
: <math>S_N(z) = \frac1{2\pi i}\int\limits_\Gamma\frac{S_N(w)}{w - z}dw</math>.

Так как, по условию теоремы, исходный ряд равномерно сходится в любой замкнутой подобласти области <math>D</math>, в сами функции <math>f_k(z)</math> непрерывны в области <math>D</math>, то, по [[Функциональный ряд#Теоремы о непрерывности|теореме о непрерывности]], частичная сумма ряда <math>S_N(z)</math> также непрерывна в области <math>D</math>.

Далее, вследствие равномерной сходимости исходного ряда в замкнутом круге <math>|z - z_0| \leqslant 2d</math> имеем, что для любого числа <math>\epsilon > 0</math> найдётся такое <math>N(\epsilon)</math>, что для любого <math>N \leqslant N(\epsilon)</math> верно неравенство
: <math>\sup_{w \in \Gamma} |S_N(w) - f(w)| < \epsilon</math>.

Отсюда для произвольной точки <math>z</math> из {{s|<math>d</math>-окрестности}} и натурального числа <math>N \geqslant N(\epsilon)</math> имеем:
: <math>\left|\frac1{2\pi i}\int_\Gamma\frac{S_N(w)}{w - z}dw - \frac1{2\pi i}\int_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}dw\right| \leqslant</math>
: <math>{}\leqslant \frac1{2\pi}\int_\Gamma\frac{|S_N(w) - f(w)|}{|w - z|}|dw| \leqslant \frac\epsilon{2\pi d}2\pi2d = 2\epsilon</math>.

По причине произвольности числа <math>\epsilon > 0</math> из последнего уравнения и последних неравенств для любого <math>z</math> из {{s|<math>d</math>-окрестности}} имеем:
: <math>\lim_{N \to \infty} S_N(z) = \frac1{2\pi i}\int\limits_\Gamma\frac{f(w)}{w - z}dw</math>.
то есть
: <math>f(z) = \frac1{2\pi i}\int\limits_\Gamma\frac{S(w)}{w - z}dw</math>.

Правая часть последнего уравнения — [[Интегральная формула Коши|интеграл типа Коши]] от непрерывной функции <math>f(w)</math>. По [[Интегральная формула Коши#Аналитичность голоморфных функций|основному свойству]] он бесконечно дифференцируем, другими словами, сумма ряда <math>f(z)</math> есть аналитическая функция в окрестности любой точки <math>z_0 \in D</math>, следовательно, что сумма ряда <math>f(z)</math> аналитична во всей области <math>D</math>.

В итоге получаем, что функции <math>S_N(z)</math> и <math>f(z)</math> аналитичны в области <math>D</math>, то есть, по [[Интегральная формула Коши#Аналитичность голоморфных функций|теореме о бесконечной дифференцируемости]], в <math>D</math> имеются производные <math>S_N^{(m)}(z)</math> и <math>f^{(m)}(z)</math> при любом <math>m \in \N</math>.
}}

== Вторая часть теоремы Вейерштрасса ==
{{рамка}}
'''''Вторая часть теоремы Вейерштрасса.''''' '''Дано:''' ''бесконечный ряд функций''
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)</math>,
''[[Аналитическая функция|аналитических]] в некоторой области <math>D</math> комплексной плоскости <math>\C</math>, <math>D \subseteq \C</math>, причём этот ряд [[Равномерная сходимость|равномерно сходится]] к сумме <math>f(z)</math> в любой замкнутой области <math>\bar{D'}</math>, полностью находящейся в исходной области <math>D</math>, <math>\bar{D'} \subset D</math>.'' '''Доказать:''' ''при [[Комплексный анализ#Дифференцирование|дифференцировании]] этого ряда любое количество раз <math>m</math> возникает новый ряд''
: <math>f^{(m)}(z) = f_1^{(m)}(z) + f_2^{(m)}(z) + \cdots + f_k^{(m)}(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k^{(m)}(z)</math>,
''также равномерно сходящийся в любой замкнутой области <math>\bar{D'} \subset D</math> и определяющий соответствующую [[Производная функции|производную функции]] <math>f(z)</math>{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 190}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 265}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 3), 1977}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 16. Функциональные ряды, с. 56}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 120—121}}{{sfn|''Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.'' Методы теории функций комплексного переменного, 1973|loc=19. Степенный ряды, с. 69}}{{sfn|''Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И.'' Лекции по теории функций комплексного переменного, 1989|loc=§ 12. Свойства регулярных функций, с. 94}}{{sfn|''Половинкин Е. С.'' Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999|loc=§ 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 64—65}}.''
{{конец рамки}}

'''Замечание.''' Если ряд
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)</math>
сходится равномерно во всей области <math>D</math>, то ряд из производных
: <math>f'(z) = f'_1(z) + f'_2(z) + \cdots + f'_k(z) + \cdots</math>,
будет сходиться вовсе не в этой же области <math>D</math>, а только в любой замкнутой области (компакте) <math>\bar{D'}</math>, целиком лежащей в <math>D</math>. Например, ряд
: <math>\frac z1 + \frac{z^2}{2^2}  + \frac{z^3}{3^2}+ \cdots + \frac{z^n}{n^2} + \cdots</math>
сходится равномерно в замкнутом круге <math>|z| \leqslant 1</math>, но ряд из его производных
: <math>1 + \frac z2  + \frac{z^3}3 + \cdots + \frac{z^{n-1}}n + \cdots</math>
сходится равномерно не в открытом круге <math>|z| < 1</math>, а в любом меньшем замкнутом круге <math>|z| \leqslant r</math>, <math>r < 1</math>{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 194}}.

Приведём два разных доказательства первой части этой теоремы. При втором доказательстве осуществляется переход от рядов функций к [[Последовательность|последовательностям]] функций{{sfn|''Половинкин Е. С.'' Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999|loc=§ 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 66—67}}.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство 1{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 1. Равномерно сходящиеся ряды…, с. 192—194}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|loc=§ 16. Функциональные ряды, с. 58—59}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 266—267}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=23. Теорема Вейерштрасса и Рунге, с. 121}}{{sfn|''Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.'' Методы теории функций комплексного переменного, 1973|loc=19. Степенный ряды, с. 69}}{{sfn|''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций, 1968|loc=§ 1. Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах, с. 319—320}}
| Содержание    =

[[Файл:On Weierstrass’s Theorem on the holomorphy of uniform limits.svg|thumb|250px|Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций]]

'''1. Замкнутый контур.''' Построим вокруг произвольной точки <math>z_0 \in D</math> [[Замкнутая кривая|замкнутый]] {{iw|Кусочно-гладкая кривая|кусочно-гладкий контур|en|Plane curve}} <math>C</math> такой, что сам контур и его внутренность лежат в области <math>D</math>. На этом контуре <math>C</math> данный ряд сходится равномерно по условию теоремы. Пусть <math>w</math> — любая точка на контуре <math>C</math>, а <math>z</math> — любая точка внутри контура <math>C</math>. Тогда разделим все члены ряда на разность <math>(w - z)^2</math>, получим ряд
: <math>\frac{f(w)}{(w - z)^2} = \frac{f_1(w)}{(w - z)^2} +</math>
:: <math>{}+ \frac{f_2(w)}{(w - z)^2} + \cdots + \frac{f_k(w)}{(w - z)^2} + \cdots</math>,
который равномерно сходится для любых точек <math>z \in C</math>. Такой ряд, согласно [[теореме об интегрировании равномерно сходящегося ряда]], почленно [[Интегрирование|интегрируется]] вдоль замкнутой кривой <math>C</math>.

'''2. Интегрирование вдоль контура.''' Проинтегрируем ряд вдоль замкнутой кривой <math>C</math>, поделив все члены ряда на <math>2\pi i</math>:
: <math>\frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f(w)dw}{(w - z)^2} = \frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f_1(w)dw}{(w - z)^2} +</math>
:: <math>{}+ \frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f_2(w)dw}{(w - z)^2} + \cdots + \frac1{2\pi i}\int\limits_C\frac{f_k(w)dw}{(w - z)^2} + \cdots</math>,
и поскольку функции <math>f_k(z)</math> аналитические всюду внутри контура <math>C</math> и на самом контуре по условию теоремы, то, по [[Интегральная формула Коши|интегральной формуле Коши]], перепишем последний ряд в следующем виде:
: <math>f'(z) = f'_1(z) + f'_2(z) + \cdots + f'_k(z) + \cdots</math>,
то есть ряд, составленный из производны от членов ряда в формулировке теоремы, сходится к производной от суммы того же ряда в любой точке <math>z</math> внутри контура <math>C</math>, в частности, в точке <math>z = z_0</math>. Но <math>z_0</math> — это, по определению, любая точка области <math>D</math>, следовательно, ряд можно почленно дифференцировать в любой точке области <math>D</math>. Теперь достаточно показать, что последний ряд, составленный из производны от членов ряда в формулировке теоремы, сходится равномерно в любой замкнутой области <math>\bar{D'}</math>, полностью находящейся в исходной области <math>D</math>, <math>\bar{D'} \subset D</math>.

[[Файл:On Weierstrass’s Theorem on the holomorphy of uniform limits 2.svg|thumb|250px|Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций]]

'''3. Окрестность точки.''' Пусть теперь <math>z_0</math> — любая точка замкнутой области <math>\bar{D'}</math>, <math>z_0 \in \bar{D'}</math>. Построим окружность <math>\Gamma</math> с центром в точке <math>z_0</math> и такого маленького радиуса <math>2d</math>, чтобы она вместе со своей внутренностью принадлежала области <math>D</math>. Построим также окрестность <math>\sigma_{z_0}</math> точки <math>z_0</math>: <math>|z - z_0| < d</math>. Очевидно, что если точка <math>w</math> движется по окружности <math>\Gamma</math>, а точка <math>z</math> не выходит из окрестности <math>\sigma_{z_0}</math>, то расстояние между этими двумя точками <math>|w - z| > d</math>. Поскольку ряд в формулировке теоремы сходится равномерно на точках окружности <math>\Gamma</math>, то при произвольном сколь угодно малом <math>\epsilon</math>
: <math>|f_{k+1}(w) + f_{k+2}(w) + \cdots| < \epsilon,\quad k \geqslant N = N,(\epsilon)</math>
для любой точки <math>w \in \Gamma</math>.

'''4. Равномерная сходимость.''' Применим последнее строгое неравенство к следующим членам ряда из производных, начиная с {{s|<math>(n + 1)</math>-го}}:
: <math>f'_{n + 1}(z) + f'_{n + 2}(z) + \cdots = \frac1{2\pi i}\int\limits_\Gamma \frac{f_{n + 1}(w) + f_{n + 2}(w) + \cdots}{(w - z)^2}dw</math>,
получим:
: <math>|f'_{n + 1}(z) + f'_{n + 2}(z) + \cdots| < \frac{\epsilon4\pi d}{2\pi d^2} = \frac{2\epsilon}d</math>,
а это означает, что [[остаточный член]] ряда из производных, начиная с достаточно большого номера, меньше по модулю сколь угодно малого числа <math>\frac{2\epsilon}d > 0</math> независимо от точки <math>z \in \sigma_{z_0}</math>. Иначе говоря, доказано, что ряд из производных равномерно сходится в окрестности <math>\sigma_{z_0}</math> любой точки <math>z_0 \in \bar{D'}</math>. Следовательно, по [[Лемма Гейне — Бореля|лемме Гейне — Бореля]] область <math>\bar{D'}</math> можно покрыть конечным числом окрестностей <math>\sigma</math>, причём в каждой из этих областей ряд из производных равномерно сходится. Поэтому ряд из производных
: <math>f'(z) = f'_1(z) + f'_2(z) + \cdots + f'_k(z) + \cdots</math>
равномерно сходится во всей области <math>\bar{D'}</math>.

'''5. Производные высших порядков.''' В силу [[Интегральная формула Коши#Аналитичность голоморфных функций|соответствующей теоремы]], производная аналитической функции — функция тоже аналитическая, следовательно, ряд
: <math>f'(z) = f'_1(z) + f'_2(z) + \cdots + f'_k(z) + \cdots</math>
представляет собой ряд функций, аналитических в области <math>D</math>, а также равномерно сходящийся в любой замкнутой области <math>\bar{D'} \subset D</math>. Применяя к этому ряду предыдущее доказательство, получаем:
: <math>f''(z) = f''_1(z) + f''_2(z) + \cdots + f''_k(z) + \cdots</math>,
и так далее, в итоге при любом <math>m \in \N</math> имеем:
: <math>f^{(m)}(z) = f^{(m)}_1(z) + f^{(m)}_2(z) + \cdots + f^{(m)}_k(z) + \cdots</math>,
и кроме того, все эти ряды равномерно сходятся в любой замкнутой области <math>\bar{D'} \subset D</math>.
}}

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство 2{{sfn|''Половинкин Е. С.'' Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999|loc=§ 9. Ряд Тейлора. Теорема Вейерштрасса, с. 66—67}}
| Содержание    =
Пусть <math>S_N(z)</math> — [[частичная сумма]] исходного ряда
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)</math>,
то есть
: <math>S_N(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_N(z) = \sum\limits_{k=1}^N f_k(z)</math>.

[[Файл:On Weierstrass’s Theorem on the holomorphy of uniform limits 2.svg|thumb|250px|Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций]]

'''1. Окрестность точки.''' Зафиксируем любую точку <math>z_0</math> области <math>D</math>, <math>z_0 \in D</math>. Построим любую {{s|<math>d</math>-окрестность}} <math>|z - z_0| < d</math> точки <math>z_0</math> такую, что её замыкание лежит в области <math>D</math> и, кроме того, окружность <math>\Gamma</math> с центром в точке <math>z_0</math> и радиусом <math>2d</math> вместе со своей внутренностью принадлежит области <math>D</math>.

'''2. Регулярная сходимость.''' По [[Интегральная формула Коши#Аналитичность голоморфных функций|теореме о бесконечной дифференцируемости]] при любом <math>m \in \N</math> имеем для любой точки <math>z</math> из замыкания {{s|<math>d</math>-окрестности}} <math>|z - z_0| < d</math> и аналитических функций <math>S_N(z)</math> и <math>f(z)</math>:
: <math>S_N^{(m)}(z) = \frac{m!}{2\pi i}\int\limits_\Gamma \frac{S_N(w)}{(w - z)^{m + 1}}dw</math>,
: <math>f^{(m)}(z) = \frac{m!}{2\pi i}\int\limits_\Gamma \frac{f(w)}{(w - z)^{m + 1}}dw</math>.

Далее, вследствие равномерной сходимости исходного ряда в замкнутом круге <math>|z - z_0| \leqslant 2d</math> имеем, что для любого числа <math>\epsilon > 0</math> найдётся такое <math>N(\epsilon)</math>, что для любого <math>N \leqslant N(\epsilon)</math> верно неравенство
: <math>\sup_{w \in \Gamma} |S_N(w) - f(w)| < \epsilon</math>.

Следовательно, для любого <math>\epsilon > 0</math> и любого <math>N \geqslant N(\epsilon)</math> и для любой точки <math>z</math> из замыкания {{s|<math>d</math>-окрестности}} <math>|z - z_0| < d</math> получаем оценку
: <math>|S_N^{(m)}(z) - f^{(m)}(z)| = \frac{m!}{2\pi}\left|\int_\Gamma\frac{S_N(w) - f(w)}{(w - z)^{m + 1}}dw\right| \leqslant</math>
: <math>{}\leqslant \frac{m!}{2\pi d^{m + 1}} \sup_{w \in \Gamma} |S_N(w) - f(w)| 2\pi2d < \frac{2m!}{d^m}\epsilon</math>.

Окончательно получаем, что последовательность частичных суии <math>S_N^{(m)}(z)</math> сходится к функции <math>f^{(m)}(z)</math> равномерно на замыкании {{s|<math>d</math>-окрестности}}. А поскольку точка <math>z_0</math> и {{s|<math>d</math>-окрестность}} выбраны произвольно, то последовательность частичных суии <math>S_N^{(m)}(z)</math> сходится к функции <math>f^{(m)}(z)</math> равномерно в любой замкнутой области <math>\bar{D'} \subset D</math>.
}}

== Равномерная сходимость внутри области ==
'''''Равномерная сходимость внутри области''''' <math>D</math> — [[равномерная сходимость]] ряда функций в точках любой ограниченной замкнутой области <math>\bar{D'}</math>, полностью находящейся в области <math>D</math>, <math>\bar{D'} \Subset D</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 262}}.

Произвольное множество <math>A</math>, замыкание которого принадлежит некоторому другому множеству <math>B</math>, <math>\bar{A} \subset B</math>, '''называется предкомпактным в <math>B</math>''', или '''компактным относительно <math>B</math>''', или '''строго содержащимся в <math>B</math>'''. Такое отношение двух множеств обозначается <math>A \Subset B</math>{{sfn|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|loc=§ 1. Обозначения и определения, с. 11}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|loc=4. Области, с. 24}}.

Некоторые авторы используют термин «равномерная сходимость» для сокращения теста. Любой ряд функций, просто равномерно сходящийся ''в'' области, сходится равномерно и в каждой её замкнутой подобласти и, следовательно, равномерно сходится ''внутри'' области. Обратное, в общем случае, неверно, как следует из следующего примера{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 262}}.

'''Пример.''' Рассмотрим [[геометрический ряд]]
: <math>1 + z + z^2 + \cdots + z^k + \cdots</math>,
который сходится в единичном круге <math>|z| < 1</math> неравномерно. При этом он равномерно сходится внутри единичного круга. Докажем это утверждение. Возьмём любую замкнутую подобласть <math>F</math> единичного круга, и пусть расстояние от неё до границы исходной области — единичной окружности — равно <math>\delta</math>. Тогда для произвольной точки <math>z \in F</math> получаем <math>|z| \leqslant 1 - \delta</math>, откуда имеем, что величина
: <math>|z^{k + 1} + \cdots + z^{k + p}| = \left|z^{k + 1}\frac{1 - z^p}{1 - z}\right| \leqslant |z|^{k + 1}\frac{1 + |z|^p}{1 - |z|} \leqslant (1 - \delta)^{k + 1}\frac2\delta</math>
стремится к нулю при <math>k \to \infty</math> и всегда может быть меньше любого <math>\epsilon > 0</math> при некотором <math>N(\epsilon) < k</math>. В итоге получили, что геометрический ряд равномерно сходится на всех точках любой замкнутой подобласти <math>F</math> единичного круга и, следовательно, равномерно сходится внутри единичного круга, хотя и не сходится равномерно в единичном круге{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 262}}.

== Примеры рядов, сходящихся не в области ==
Чтобы правильно использовать теорему Вейерштрасса, необходимо учитывать, что она сформулирована и доказана для рядов аналитических функций, равномерно сходящихся в области. Когда ряд равномерно сходится на любом не открытом множестве, теорема может быть неверна{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 267}}.

По теореме Вейерштрасса в следующих двух примерах не существует области, которая включала бы точки всей действительной оси или хотя бы её произвольной части, в которой представленные ряды сходились бы равномерно. Иначе эти ряды вошли бы в противоречие с теоремой Вейерштрасса{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 268}}.

'''Пример 1 ([[Вейерштрасс, Карл|Вейерштрасс]]).''' Рассмотрим функцию
: <math>f(x) = \sum\limits_{k=0}^\infty b^k\cos(ax\pi)</math>,
где <math>n</math> — нечётное целое число, <math>0 < b < 1</math>. Этот ряд есть сумма функций, аналитических во всех точках действительной оси и даже во всех точках комплексной плоскости. Ряд равномерно сходится на действительной оси, так как абсолютная величина общего члена ряда <math>|b^k\cos(ax\pi)| \leqslant b^k</math>, где <math>\sum\limits_{k=0}^\infty b^k</math> — сходящийся [[геометрический ряд]]. Но сумма ряда даже не аналитическая функция в точках действительной оси, поскольку, по результатам Вейерштрасса, эта сумма не дифференцируема ни при каких <math>x</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 267}}.

'''Пример 2.''' Рассмотрим функциональный ряд
: <math>\sin x + \left(\frac{\sin 2x}2  - \sin x\right) + \left(\frac{\sin 3x}3  - \frac{\sin 2x}2\right) + \cdots</math>,
члены которого суть функции, аналитические во всех точках действительной оси и даже во всех точках комплексной плоскости. И этот ряд сходится равномерно на действительной оси. Кроме того, его сумма, тождественно равная нулю, есть аналитическая функция. Действительно, частичная сумма этого ряда равна
: <math>\sin x + \left(\frac{\sin 2x}2  - \sin x\right) + \cdots + \left(\frac{\sin kx}k  - \frac{\sin (k - 1)x}{k - 1}\right) = \frac{\sin kx}k</math>,
а <math>\left|\frac{\sin kx}k\right| \leqslant \frac1k</math>, следовательно, этот ряд сходится равномерно к нулю. Онако при почленном дифференцировании получается ряд
: <math>\cos x + (\cos 2x  - \cos x) + \cdots + (\cos kx  - \cos(k-1)x) + \cdots</math>,
частичные суммы которого равны
: <math>\cos x, \cos 2x, \cdots, \cos kx, \cdots</math>,
следовательно, [[последовательность]] этих сумм расходится при любом <math>x \ne 2n\pi</math>, а при <math>x = 2n\pi</math> сходится к единице — величине, не равной производной от суммы ряда{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 267—268}}.

== Доказательство с использованием рядов Тейлора ==
Рассмотрим бесконечную [[последовательность]] [[Степенной ряд|степенных рядов]]
: <math>\mathfrak{P}_1(z),\, \mathfrak{P}_2(z),\, \dots,\, \mathfrak{P}_k(z),\, \dots</math>
с [[Радиус сходимости степенного ряда|радиусами сходимости]], большими некоторого числа <math>\rho > 0</math>. Построив [[круг]] <math>\{K\colon z \in \C,\, |z| < \rho\}</math>, получим, что все эти ряды сходятся как внутри, так и на границе круга <math>K</math>{{sfn|''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций, 1968|loc=§ 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 69}}.

{{рамка}}
'''Теорема о равномерной сходимости степенных рядов. Дано:''' ''степенной ряд функций
: <math>\mathfrak{P}_1(z) + \mathfrak{P}_2(z) + \cdots + \mathfrak{P}_k(z) + \cdots</math>,
[[Равномерная сходимость|равномерно сходящийся]] на окружности <math>|z| = \rho</math> круга <math>K</math>.'' '''Доказать:''' в любой внутренней точке <math>z</math> круга <math>K</math>, <math>z \in K</math>, справедливо равенство
: <math>\mathfrak{P}_1(z) + \mathfrak{P}_2(z) + \cdots + \mathfrak{P}_k(z) + \cdots = \mathfrak{P}(z)</math>,
где <math>\mathfrak{P}(z)</math> — новые степенной ряд, образованный [[Формальный степенной ряд#Алгебраические операции|формальным сложением]] всех степенный рядов, находящихся в левой часи равенства{{sfn|''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций, 1968|loc=§ 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 69—70}}.
{{конец рамки}}

Положим
: <math>\mathfrak{P}_m(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty c_{km}z^k</math>,
тогда теорема утверждает, что ряды коэффициентов
: <math>c_k = c_{k1} + c_{k2} + c_{k3} + \cdots</math>
сходятся при каждом <math>k = 0,\, 1,\, 2,\, \dots,</math> а ряд 
: <math>\mathfrak{P}(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty c_k z^k</math>
сходится во всех внутренних точках круга <math>K</math>, причём имеет место следующее равенство{{sfn|''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций, 1968|loc=§ 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 70}}:
: <math>\mathfrak{P}_1(z) + \mathfrak{P}_2(z) + \cdots + \mathfrak{P}_k(z) + \cdots = \mathfrak{P}(z)</math>.

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций, 1968|loc=§ 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 70—71}}
| Содержание    =
'''1. Неравенства.''' Так как ряд с общим членом
: <math>\mathfrak{P}_m(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty c_{km}z^k</math>
равномерно сходится на окружности круга <math>K</math>, то для любого числа <math>\epsilon > 0</math> имеется такое натуральное число <math>N \in \N</math> такое, что неравенство
: <math>|\mathfrak{P}_{m+1}(z) + \mathfrak{P}_{m+2}(z) + \cdots + \mathfrak{P}_{m+l}(z)| \leqslant \epsilon</math>
верно в любой точке <math>z</math> окружности круга <math>K</math> при произвольном <math>l > 0</math>, когда <math>m > N</math>. Из этого неравенства по [[Неравенство Кощи для коэффициентов ряда Лорана|неравенству Кощи для коэффициентов ряда Лорана]] вытекает неравенство
: <math>|c_{k(m+1)} + c_{k(m+2)} + \cdots + c_{k(m+l)}| \leqslant \frac\epsilon{\rho_k},\quad k = 0,\, 1,\, 2,\, \dots.</math>

Поэтому сходятся следующие ряды:
: <math>c_{k1} + c_{k2} + c_{k3} + \cdots = c_k,\quad k = 0,\, 1,\, 2,\, \dots.</math>

Обозначим
: <math>r_{km} = c_k - (c_{k1} + c_{k2} + \cdots + c_{km})</math>,
тогда при <math>m > N</math> верны также неравенства
: <math>|r_{km}| \leqslant \frac\epsilon{\rho_k},\quad k = 0,\, 1,\, 2,\, \dots.</math>

'''2. Сходимость рядов.''' Пусть <math>z</math> — любая тоска внутри круга <math>K</math>. Тогда <math>|z| = \rho_1 < \rho</math>, поэтому сходится следующий ряд:
: <math>\sum\limits_{k=0}^\infty (c_{k1} + c_{k2} + \cdots + c_{km})z^k = \mathfrak{P}_1(z) + \mathfrak{P}_2(z) + \cdots + \mathfrak{P}_m(z)</math>.

Кроме того, при <math>m > N</math> сходится также и следующий ряд:
: <math>\sum\limits_{k=0}^\infty r_{km}z^k = \mathfrak{O}_m(z)</math>,
поскольку, с учётом неравенства <math>|r_{km}| \leqslant \frac\epsilon{\rho_k}</math>, последний ряд [[Мажорирование множеств|мажорируется]] следующим сходящимся рядом:
: <math>\sum\limits_{k=0}^\infty \epsilon\left(\frac{\rho_1}\rho\right)^k = \frac\epsilon{1 - \rho_1/\rho}</math>,
следовательно,
: <math>\mathfrak{O}_m(z) \leqslant \frac\epsilon{1 - \rho_1/\rho}</math>.

}}

{{рамка}}
'''Теорема Вейерштрасса о рядах. Дано:''' ''бесконечный ряд функций''
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)</math>,
''[[Аналитическая функция|аналитических]] в некоторой области <math>D</math> комплексной плоскости <math>\C</math>, <math>D \subseteq \C</math>, причём ряд [[Равномерная сходимость|равномерно сходится]] к сумме <math>f(z)</math> в любой замкнутой области <math>\bar{D'}</math>, полностью находящейся в исходной области <math>D</math>, <math>\bar{D'} \subset D</math>.'' '''Доказать:''' ''1) в области <math>D</math> функция <math>f(z)</math> аналитическая; 2) при [[Комплексный анализ#Дифференцирование|дифференцировании]] этого ряда любое количество раз <math>m</math> возникает новый ряд''
: <math>f^{(m)}(z) = f_1^{(m)}(z) + f_2^{(m)}(z) + \cdots + f_k^{(m)}(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k^{(m)}(z)</math>,
''также равномерно сходящийся в любой замкнутой области <math>\bar{D'} \subset D</math> и определяющий соответствующую [[Производная функции|производную функции]] <math>f(z)</math>{{sfn|''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций, 1968|loc=§ 10. Теоремы Вейерштрасса о рядах, с. 71}}.''
{{конец рамки}}

== Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области ==
Вейерштрасс доказал теорему, которой посвящена статья, без использования [[Интеграл Коши|интеграла Коши]]. Он использовал так называемый '''''элементарный метод''''', который основан на разложении голоморфных функций в [[ряд Тейлора]]. Но приведённые в статье доказательства с применением интеграла Коши по сути почти непосредственные и, кроме того, позволяют создать другую формулировку теоремы Вейерштрасса, которая используется в некоторых случаях. Эта новая формулировка определяется тем, что равномерная сходимость ряда или последовательности функций была использована только на границе области. В итоге получается следующая теорема{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=Глава V. Последовательности голоморфных функций… § 1. Равномерно сходящиеся последовательности голоморфных функций, с. 159—160}}{{sfn|''Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.'' Методы теории функций комплексного переменного, 1973|loc=19. Степенный ряды, с. 69—70}}.

{{рамка}}
'''''Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области.''''' '''Дано:''' ''бесконечный [[Функциональный ряд|ряд функций]]''
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)</math>,
''[[Аналитическая функция|аналитических]] в некоторой области <math>D</math> комплексной плоскости <math>\C</math>, <math>D \subseteq \C</math>, и непрерывных в замкнутой области <math>\bar{D}</math>, причём ряд [[Равномерная сходимость|равномерно сходится]] на границе области <math>D</math>.'' '''Доказать:''' ''во всей замкнутой области <math>\bar{D}</math> ряд также равномерно сходится{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 2. Ряд Тейлора, с. 208}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 268}}{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 3), 1977}}{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=Глава V. Последовательности голоморфных функций… § 1. Равномерно сходящиеся последовательности голоморфных функций, с. 159—160}}.''
{{конец рамки}}

{{Скрытый
| Заголовок     = Доказательство{{sfn|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|loc=Глава V. Ряды аналитических функций… § 2. Ряд Тейлора, с. 208—209}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 268—269}}
| Содержание    =
Пусть <math>w</math> — любая точка на границе области <math>D</math>, тогда по условию равномерной сходимости имеет место неравенство
: <math>|f_{N + 1}(w) + f_{N + 2}(w) + \cdots + f_{N + p}(w)| < \epsilon,\quad</math> <math>N = N(\epsilon),\quad</math> <math>p \geqslant 1,</math>
где <math>\epsilon</math> сколь угодно мало. Поскольку функция
: <math>f_{N + 1}(z) + f_{N + 2}(z) + \cdots + f_{N + p}(z)</math>
аналитична в области <math>D</math> и непрерывна в замкнутой области <math>\bar{D}</math>, то, согласно [[Принцип максимума модуля|принципу максимума модуля]], указанное неравенство выполняется и во всех точках <math>z</math> области <math>D</math>. Следовательно, неравенство верно, если <math>w</math> — любая точка замкнутой области <math>\bar{D}</math>, и ряд 
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)</math>
равномерно сходится во всей замкнутой области <math>\bar{D}</math> по [[Признак Вейерштрасса|признаку Вейерштрасса]] равномерно сходящегося ряда.
}}

Доказанное свойство рядов аналитических функций верно также для аналитических или [[Гармоническая функция|гармонических функций]], определённых в областях как [[Унитарное пространство|комплексного пространства]] <math>\C^n</math>, <math>n \geqslant 1</math>, так и [[Евклидово пространство|евклидова пространства]] <math>\mathbb E^n</math>, <math>n \geqslant 2</math>. Более того, доказанное свойство рядов аналитических функций верно всегда, когда применим [[принцип максимума модуля]]{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 3), 1977}}.

== Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций ==
Обе теоремы Вейерштрасса о [[Равномерная сходимость|равномерно сходящихся]] [[Функциональный ряд|рядах функций]]
: <math>f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z) = f(z)</math>
непосредственно распространяются на следующие равномерно сходящиеся [[Функциональная последовательность|последовательности функций]]{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 269}}:
: <math>F_1(z),\, F_2(z),\, \dots,\, F_k(z),\, \dots,\quad</math> <math>\lim_{k \to \infty} F_k(z) = F(z).</math>

'''Замечание.''' В английской терминологии название теоремы Вейерштрасса таково, что оно подходит сразу для обоих формулировок теоремы (для рядов и для последовательностей): «предельная теорема Вейерштрасса», или «Теорема Вейерштрасса о голоморфности однородных пределов»<ref name="англ"/>{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.7 Limits of holomorphic functions, p. 14; Exercise 1.25, p. 23; Theorem 2.6.1, p. 36}}.

Действительно, указанная последовательность функций представляется как последовательность [[Частичная сумма|частичных сумм]] следующего ряда функций:
: <math>F_1(z) + (F_2(z) - F_1(z)) + (F_3(z) - F_2(z)) + \cdots + (F_k(z) - F_{k-1}(z)) + \cdots,</math>
причём эта последовательность функций сходится равномерно в некоторой области комплексной плоскости тогда и только тогда, когда равномерно сходится в этой области указанный ряд функций. Следовательно, обе теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах функций применимы к равномерно сходящихся последовательностям функций{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 269}}{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 51}}.

Сформулируем одну из теорем Вейерштрасса — о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций — для равномерно сходящейся последовательности функций{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=Глава V. Последовательности голоморфных функций… § 1. Равномерно сходящиеся последовательности голоморфных функций, с. 158}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=5. Простейшие свойства голоморфных функций, с. 34}}{{sfn|''Мальгранж Б.'' Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных, 1969|loc=§ 1. Формула Коши и элементарные следствия, с. 9}}{{sfn|''Эрве М.'' Функции многих комплексных переменных, 1965|loc=Глава I. Основные свойства голоморфных функций многих переменных. 4, с. 14}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.7 Limits of holomorphic functions, p. 14}}.

{{рамка}}
'''''Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций.''''' '''Дано:''' ''бесконечная [[Функциональная последовательность|последовательность функций]]''
: <math>F_1(z),\, F_2(z),\, \cdots,\, F_k(z),\, \cdots</math>,
''[[Аналитическая функция|аналитических]] в некоторой области <math>D</math> комплексной плоскости <math>\C(z)</math>, <math>D \subseteq \C^n</math>, [[Равномерная сходимость|равномерно сходится]] к функции <math>F(z)</math> в любой замкнутой области <math>\bar{D'}</math>, полностью находящейся в исходной области <math>D</math>, <math>\bar{D'} \subset D</math>.'' '''Доказать{{sfn|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|loc=Глава V. Последовательности голоморфных функций… § 1. Равномерно сходящиеся последовательности голоморфных функций, с. 158}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=5. Простейшие свойства голоморфных функций, с. 34}}{{sfn|''Мальгранж Б.'' Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных, 1969|loc=§ 1. Формула Коши и элементарные следствия, с. 9}}{{sfn|''Эрве М.'' Функции многих комплексных переменных, 1965|loc=Глава I. Основные свойства голоморфных функций многих переменных. 4, с. 14}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.7 Limits of holomorphic functions, p. 14}}:'''
: ''1) в области <math>D</math> функция <math>F(z)</math> аналитическая;''
: ''2) при [[Комплексный анализ#Дифференцирование|дифференцировании]] этой последовательности возникает новая последовательность, также равномерно сходящаяся в любой замкнутой области <math>\bar{D'} \subset D</math> и определяющая [[Производная функции|производную функции]] <math>F(z)</math>, то есть последовательность можно почленно дифференцировать любое количество раз:''
:: <math>\lim_{k\to\infty}\frac{d^m F_k(z)}{dz^m} = \frac{d^m F(z)}{dz^m}</math>
: при любом <math>m</math>.
{{конец рамки}}

== Теорема Вейерштрасса о семействах аналитических функций ==
Обобщение [[Последовательность|последовательности]] комплексных функций
: <math>F_1(z),\, F_2(z),\, \dots,\, F_k(z),\, \dots,\quad</math> <math>\lim_{k \to \infty} F_k(z) = F(z).</math>
с [[Натуральное число|натуральным]] [[параметр]]ом <math>k</math>, используемых в [[#Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций|теореме Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций]], — это [[Функциональное семейство|семейство функций]] с [[Непрерывная функция|непрерывным параметром]] <math>\alpha</math>: <math>F_\alpha(z)</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 269}}{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.7 Limits of holomorphic functions, p. 14}}.

{{рамка}}
'''''Теорема Вейерштрасса о семействах аналитических функций.''''' '''Дано:''' ''функция <math>F_\alpha(z)</math>, аналитическая в некоторой области <math>D</math> комплексной плоскости <math>\C(z)</math>, <math>D \subseteq \C</math>, для всех значений комплексного параметра <math>\alpha</math>, лежащих в некоторой окрестности <math>\alpha_0</math>, <math>\alpha \in \alpha_0 \subset \C</math>, причём [[Предел (математика)|предел]]''
: <math>\lim_{\alpha \to \alpha_0} F_\alpha(z) = F(z)</math>
достигается равномерно в области <math>D</math>.'' '''Доказать{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50—51}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 269}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.7 Limits of holomorphic functions, p. 14}}:'''
: ''1) в области <math>D</math> функция <math>F(z)</math> аналитическая;''
: ''2) нахождение производных и [[интеграл]]ов от функции <math>\varphi(z)</math> можно проводить под знаком предела.''
{{конец рамки}}

Эта теорема просто получается из теоремы Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций при построении произвольной последовательности
: <math>\alpha_1,\, \alpha_2,\, \dots,\, \alpha_k,\, \dots,\quad</math> <math>\lim_{k \to \infty} \alpha_k = \alpha_0,</math>
поскольку предел
: <math>\lim_{k \to \infty} F_{\alpha_k}(z) = F(z)</math>
достигается равномерно, и тогда к ряду с частичными суммами
: <math>F_{\alpha_1}(z),\, F_{\alpha_2}(z),\, \dots,\, F_{\alpha_k}(z),\, \dots</math>
применяется теорем Вейерштрасса. Отсюда переход к утверждениям теоремы просто осуществляется при обычной формулировке определения предела <math>\lim_{\alpha \to \alpha_0} F_\alpha(z)</math>{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 51}}{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 269—270}}.

Пример применения теоремы Вейерштрасса, сформулированной для случая семейства функций — исследование [[#Несобственный интеграл типа Коши|несобственного интеграла типа Коши]]{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 270}}.

== Несобственный интеграл типа Коши ==
Рассмотрим неограниченную с одной стороны [[Кривая|кривую]] <math>L</math>, определяемую следующим образом:
: <math>z = \lambda(t),\quad</math> <math>\alpha \leqslant t < \beta,\quad</math> <math>\lim_{t \to \beta} \lambda(t) = \infty,</math>
и любая её конечная {{iw|Дуга (геометрия)|дуга|en|Arc (geometry)}} <math>L_\tau</math>, <math>\alpha \leqslant t \leqslant \tau < \beta</math>, [[Спрямляемая кривая|спрямляема]]{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 270}}.

Введём [[Функциональное семейство|семейство функций]] <math>\{F_\tau(z)\}</math>, составленное из [[Интеграл Коши|интегралов типа Коши]]:
: <math>F_\tau(z) = \frac1{2\pi i} \int\limits_{L_\tau} \frac{\varphi(w)dw}{w - z}</math>,
причём <math>\varphi(w)</math> — [[непрерывная функция]], определённая на кривой <math>L</math>, и поэтому функции семейства <math>\{F_\tau(z)\}</math> определены и аналитичны в любой области, в которой нет точек кривой <math>L</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 270}}.

'''Лемма.''' ''Чтобы семейство функций <math>\{F_\tau(z)\}</math> равномерно сходилось в каждой ограниченной замкнутой области <math>\bar{D}</math>, в которой нет точек кривой <math>L</math>, должно, например, выполняться условие абсолютной сходимости интеграла <math>\int\limits_L \varphi(w)dw</math>, что равнозначно существованию следующего предела{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 270—271}}:''
: <math>\lim_{\tau\to\beta} \int\limits_{L_\tau} |\varphi(w)|d\sigma = \int\limits_L |\varphi(w)|d\sigma</math>.

'''Доказательство.''' В каждой ограниченной замкнутой области <math>\bar{D}</math>, в которой нет точек кривой <math>L</math>, получаем:
: <math>|F_{\tau'}(z) - F_\tau(z)| = \left|\frac1{2\pi i} \int_{L_{\tau'} \setminus L_\tau} \frac{\varphi(w)dw}{w - z}\right| \leqslant \frac1{2\pi\rho} \left|\int_{L_{\tau'}} |\varphi(w)|d\sigma - \int_{L_\tau} |\varphi(w)|d\sigma\right|</math>,
где <math>\rho</math> — расстояние между замкнутой областью <math>\bar{D}</math> и кривой <math>L</math>. Кроме того, для любого <math>\epsilon > 0</math> имеется такое <math>\beta(\epsilon) < \beta</math>, что при <math>\tau,\, \tau' > \beta(\epsilon)</math> верно следующее неравенство{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 271}}:
: <math>|F_{\tau'}(z) - F_\tau(z)| < \epsilon</math>. □

'''''Несобственный интеграл типа Коши''''' вдоль неограниченной кривой <math>L</math>, или '''''интеграл типа Коши''''' вдоль <math>L</math> — [[несобственный интеграл]]
: <math>\frac1{2\pi i} \int\limits_L \frac{\varphi(w)dw}{w - z} = \lim_{\tau\to\beta} \frac1{2\pi i} \int\limits_{L_\tau} \frac{\varphi(w)dw}{w - z}</math>,
который существует, когда функции семейства <math>\{F_\tau(z)\}</math> определены и аналитичны в любой области, в которой нет точек кривой <math>L</math>, а само семейство 
равномерно сходится в каждой такой области{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 271}}.

Из [[#Теорема Вейерштрасса о семействах аналитических функций|теоремы Вейерштрасса о семействах аналитических функций]] следует, что этот интеграл типа Коши есть некоторая аналитическая функция <math>F(z)</math> в любой области, в которой нет точек кривой <math>L</math>{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 271}}.

Из теоремы Вейерштрасса о семействах аналитических функций также следует, что семейство производных
: <math>\left\{F_\tau^{(m)}(z) = \frac{m!}{2\pi i} \int_{L_\tau} \frac{\varphi(w)dw}{(w - z)^{m+1}}\right\}</math>
также равномерно сходится к <math>F^{(m)}(z)</math>. С другой стороны, из равномерной сходимости семейства производных <math>\{F_\tau^{(m)}(z)\}</math> вытекает, что имеется также следующий несобственный интеграл{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 271}}:
: <math>\frac{m!}{2\pi i} \int\limits_L \frac{\varphi(w)dw}{(w - z)^{m+1}} = \lim_{\tau\to\beta} \frac{m!}{2\pi i} \int\limits_{L_\tau} \frac{\varphi(w)dw}{(w - z)^{m+1}}</math>.

Поэтому
: <math>F^{(m)}(z) = \frac{m!}{2\pi i} \int\limits_L \frac{\varphi(w)dw}{(w - z)^{m+1}}</math>,
то есть свойства, имеющие место для интегралов типа Коши, справедливы и для несобственных интегралов типа Коши{{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 271}}.

Полученные результаты обобщаются без изменения на случай, когда кривая <math>L</math> неограниченна с обеих сторон, другими словами, функция <math>z = \lambda(t)</math>, определенная в интервале <math>\alpha < t < \beta</math>, удовлетворяет условиям <math>\lim_{t \to \alpha} \lambda(t) = \lim_{t \to \beta} \lambda(t) = \infty</math> (например, кривая <math>L</math> — прямая или парабола){{sfn|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|loc=Глава третья. Интегралы и степенные ряды. § 4. Ряды функций и бесконечные произведения, с. 272}}.

== Обобщение на комплексное пространство ==
Теоремы Вейерштрасса обобщаются на ряды аналитических функций многих комплексных переменных, сохраняя название и формулировку{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 3), 1977}}{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50}}{{sfn|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|loc=5. Простейшие свойства голоморфных функций, с. 34}}{{sfn|''Эрве М.'' Функции многих комплексных переменных, 1965|loc=Глава I. Основные свойства голоморфных функций многих переменных. 4, с. 14}}{{sfn|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|loc=1.7 Limits of holomorphic functions, p. 14}}. Также интегрирование функции по кривой или поверхности, замыкание которых принадлежит исходной ограниченной области, производится почленным интегрированием исходного ряда. Аналогичные предложения имеют место и для кратных рядов, составленных из голоморфных функций. Доказательство этих теорем осуществляется так же, как в случае одного переменного{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50}}.

Сформулируем одну из теорем Вейерштрасса — о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций — для случая нескольких комплексных переменных{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 3), 1977}}{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50}}.

{{рамка}}
'''''Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций.''''' '''Дано:''' ''бесконечный ряд функций''
: <math>f(z) = f_1(z) + f_2(z) + \cdots + f_k(z) + \cdots = \sum\limits_{k=1}^\infty f_k(z)</math>,
''[[Голоморфная функция|голоморфных]] в некоторой области <math>D</math> комплексного пространства <math>\C^n(z)</math>, <math>n \geqslant 1</math>, <math>z = (z_1,\, z_2,\, \dots,\, z_n)</math>, <math>D \subseteq \C^n</math>, причём ряд [[Равномерная сходимость|равномерно сходится]] к сумме <math>f(z)</math> в любой замкнутой области <math>\bar{D'}</math>, полностью находящейся в исходной области <math>D</math>, <math>\bar{D'} \subset D</math>.'' '''Доказать{{sfn|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 3), 1977}}{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50}}:'''
: ''1) в области <math>D</math> функция <math>f(z)</math> голоморфная;''
: ''2) при любом [[Частная производная|частном]] [[Комплексный анализ#Дифференцирование|дифференцировании]] этого ряда любое количество раз возникает новый ряд, также равномерно сходящийся в любой замкнутой области <math>\bar{D'} \subset D</math> и определяющий соответствующую частную [[Производная функции|производную функции]] <math>f(z)</math>, то есть ряд можно почленно дифференцировать любым способом любое количество раз:''
:: <math>\frac{\partial^{|m|} f(z)}{\partial z_1^{m_1} \partial z_2^{m_2} \dots \partial z_n^{m_n}} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\partial^{|m|} f_k(z)}{\partial z_1^{m_1} \partial z_2^{m_2} \dots \partial z_n^{m_n}},</math>
:: <math>m = (m_1,\, \dots,\, m_n) \in \Z_0^n,\quad |m| = m_1 + \cdots + m_n,</math>
: ''или''
:: <math>\frac{\partial^{|m|} f(z)}{\partial z^m} = \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{\partial^{|m|} f_k(z)}{\partial z^m},</math> ''или'' <math>D^m f(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty D^m f_k(z).</math>
{{конец рамки}}

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству в случае одного переменного на комплексной плоскости{{sfn|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|loc=§ 3. Представление голоморфного функционального элемента степенным рядом, с. 50}}.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Источники ==
* {{h|''Владимиров В. С.'' Методы теории функций многих комплексных переменных, 1964|3=
''[[Владимиров, Василий Сергеевич|Владимиров В. С.]]'' Методы теории функций многих комплексных переменных / Предисловие академика [[Боголюбов, Николай Николаевич|Н. Н. Боголюбова]]. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1964. 411 с.: ил.
}}
* {{h|''Гурвиц А., Курант Р.'' Теория функций, 1968|3=
''[[Гурвиц, Адольф|Гурвиц А.]], [[Курант, Рихард|Курант Р.]]'' Теория функций / Пер. [[Евграфов, Марат Андреевич|М. А. Евграфова]]. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1968. 648 с.: ил. [Adolf Hurwitz. Allhemeine Funktionentheorie und elliptische Funktionen. R. Courant. Geometrische Funktionentheorie. Berlin · Göttingen · Heidelberg · New York: Springer-Verlag, 1964.]
}}
* {{h|''Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.'' Методы теории функций комплексного переменного, 1973|3=
''[[Лаврентьев, Михаил Алексеевич|Лаврентьев М. А.]], [[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]'' Методы теории функций комплексного переменного. Изд. 4-е, испр. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1973. 736 с., 231 рис.
}}
* {{h|''Мальгранж Б.'' Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных, 1969|3=
''[[Мальгранж, Бернар|Мальгранж Б.]]'' Лекции по теории функций нескольких комплексных переменных. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1969. 119 с.: ил.
}}
* {{h|''Маркушевич А. И.'' Теория аналитических функций. Том I, 1967|3=
''[[Маркушевич, Алексей Иванович|Маркушевич А. И.]]'' Теория аналитических функций. Том I. Начала теории. Издание второе. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1967. 486 с.: ил.
}}
* {{h|''Половинкин Е. С.'' Курс лекций по теории функций комплексного переменного, 1999|3=
''[[Половинкин, Евгений Сергеевич|Половинкин Е. С.]]'' Курс лекций по теории функций комплексного переменного. М.: [[МФТИ]], 1999. 253 с.: ил. ISBN 5-7417-0129-9.
}}
* {{h|''Привалов И. И.'' Введение в теорию функций комплексного переменного, 2009|3=
''[[Привалов, Иван Иванович|Привалов И. И.]]'' Введение в теорию функций комплексного переменного : учебник. 15-е изд., стер. СПб.: Лань, 2009. 432 с.: ил. ISBN 978-5-8114-0913-6.
}}
* {{h|''Сидоров Ю. В., Федорюк М. В., Шабунин М. И.'' Лекции по теории функций комплексного переменного, 1989|3=
''Сидоров Ю. В., [[Федорюк, Михаил Васильевич|Федорюк М. В.]], [[Шабунин, Михаил Иванович|Шабунин М. И.]]'' Лекции по теории функций комплексного переменного: Учеб. для вузов. 3-е изд., испр. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1989.  477 с. ISBN 5-02-013954-8.
}}
* {{h|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 3), 1977|3=
''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 3) // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 1 А—Г. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 617.
}}
* {{h|''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 4), 1977|3=
''Соломенцев Е. Д.'' Вейерштрасса теорема. 4) // ''[[Математическая энциклопедия]]'': Гл. ред. [[Виноградов, Иван Матвеевич|И. М. Виноградов]], т. 1 А—Г. М.: «[[Большая российская энциклопедия (издательство)|Советская энциклопедия]]», 1977. 1152 стб., ил. Стб. 617.
}}
* {{h|''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения, 1988|3=
''Соломенцев Е. Д.'' Функции комплексного переменного и их применения: Учеб. пособие для студентов вузов. М.: «[[Высшая школа (издательство)|Высшая школа]]», 1988. 167 с., ил. ISBN 5-06-003145-6.
}}
* {{h|''Стоилов С.'' Теория функций комплексного переменного. Том I, 1962|3=
''[[Стоилов, Симион|Стоилов С.]]'' Теория функций комплексного переменного. Том I. Основные понятия и принципы: Пер. с румынского [[Берштейн, Израиль Фроимович|И. Берштейна]]. Ред. Е. Д. Соломенцев. М.: «[[Издательство иностранной литературы]]», 1962. 364 с., ил. [''Stoilow S.'' Teoria Funcțiilor de o Variabilǎ Complexǎ, vol. I Noțiuni și Principii Dundamentale. Editura Academiei Republicii Populare Române, 1954.]
}}
* {{h|''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных, 1962|3=
''Фукс Б. А.'' Теория аналитических функций многих комплексных переменных: 2-е изд., перераб. и доп. М.: [[Физматлит]], 1962. 419 с.
}}
* {{h|''Фукс Б. А., Шабат Б. В.'' Функции комплексного переменного и некоторые приложения, 1964|3=
''Фукс Б. А., [[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]'' Функции комплексного переменного и некоторые приложения: 3-е изд. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1964. 387 с. с илл.
}}
* {{h|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. I, 1976|3=
''[[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]'' Введение в комплексный анализ, ч. 1, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1976. 320 с.: ил.
}}
* {{h|''Шабат Б. В.'' Введение в комплексный анализ, ч. II, 1976|3=
''[[Шабат, Борис Владимирович|Шабат Б. В.]]'' Введение в комплексный анализ, ч. II, изд. 2-е, перераб. и доп. М.: «[[Наука (издательство)|Наука]]», 1976. 400 с.: ил.
}}
* {{h|''Эрве М.'' Функции многих комплексных переменных, 1965|3=
''{{iw|Эрве, Мишель|Эрве М.|fr|Michel Hervé (mathématicien)}}'' Функции многих комплексных переменных. Локальная теория. Пер. с англ. Б. А. Фукса. М.: «[[Мир (издательство)|Мир]]», 1965. 165 с. [Hervé M. Several complex variables. Local theory. [[Мумбаи|Bombay]]: [[Издательство Оксфордского университета|Oxford University Press]], 1963.]
}}
* {{h|''Jaap Korevaar, Jan Wiegerinck'' Several Complex Variables, 2011|3=
''{{iw|Коревар, Якоб|Jaap Korevaar|en|Jacob Korevaar}}, Jan Wiegerinck.'' Several Complex Variables. [[Амстердам|Amsterdam]]: [[Амстердамский университет|University of Amsterdam]], November 18, 2011. 260 p.
}}

{{рецензия}}

[[Категория:Общая топология]]
[[Категория:Многомерный комплексный анализ]]
[[Категория:Теоремы комплексного анализа|Вейерштрасс]]