Теорема Вейерштрасса о рядах голоморфных функций

Для теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций

Теоре́ма Вейерштра́сса о равноме́рно сходя́щихся ряда́х аналити́ческих фу́нкцийШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn, или просто теорема ВейерштрассаШаблон:SfnШаблон:Sfn, или теорема Вейерштрасса о рядахШаблон:SfnШаблон:Sfn (1859Шаблон:Sfn) — следующая теорема комплексного анализа, раздела математикиШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Шаблон:Рамка Если бесконечный ряд функций, аналитических в некоторой области комплексной плоскости, сходится равномерно в любой замкнутой подобласти данной области, то:

1) сумма ряда определяет аналитическую функцию в исходной области;

2) ряд можно Шаблон:Iw дифференцировать любое количество разШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Теорема Вейерштрасса определяет условия, при которых сумма сходящегося ряда аналитических функций будет снова аналитической. Этим условием и является равномерная сходимость ряда в данной области или как минимум в любой замкнутой подобластиШаблон:Sfn.

Первая часть теоремы Вейерштрасса говорит о том, что равномерный переход к пределу сохраняет свойство аналитичности, вторая — что для аналитических функций условия почленного дифференцирования рядов проще, чем в обычном анализеШаблон:Sfn.

Существует эквивалентная формулировка теоремы Вейерштрасса, в которой вместо сходящего ряда используется сходящаяся последовательностьШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Также при доказательстве теоремы Вейерштрасса о рядах могут сразу перейти к последовательностямШаблон:Sfn.

Замечание. Теорема Вейерштрасса лежит в основе изучении одинарных и кратных рядов, составленных из аналитических функцийШаблон:Sfn. Теорема специфична не для действительных, а именно для комплексных функциональных рядовШаблон:Sfn. Для действительных чисел нет такой простой теоремы, поскольку равномерно сходящийся ряд действительных функций в общем случае почленно не дифференцируетсяШаблон:Sfn. Для почленного дифференцирования ряда действительных функций требуется не только сходимость ряда, но ещё и равномерная сходимость ряда из производныхШаблон:Sfn.

Применяя теорему Вейерштрасса, нельзя забывать, что она говорит о рядах голоморфных функций, которые сходятся в области, то есть в открытом связном множестве. В случае неоткрытого множества теорема Вейерштрасса может быть невернаШаблон:Sfn.

Авторы могут говорить не об одной теореме Вейерштрасса, а о двух, нумеруя обе части теоремы: первая и вторая теоремы ВейерштрассаШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

С другой стороны, эту теорему иногда называют первой теоремой ВейерштрассаШаблон:Sfn, подразумевая под второй теоремой ВейерштрассаШаблон:Sfn теорему Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе областиШаблон:Sfn.

Теорема Вейерштрасса обобщается на ряды аналитических функций многих комплексных переменных, сохраняя название и формулировкуШаблон:Sfn. Также интегрирование функции по кривой или поверхности, замыкание которых принадлежит исходной ограниченной области, производится почленным интегрированием исходного ряда. Аналогичные предложения имеют место и для кратных рядов, составленных из голоморфных функций. Доказательство этих теорем осуществляется так же, как в случае одного переменногоШаблон:Sfn.

Первая часть теоремы Вейерштрасса

Шаблон:Рамка Первая часть теоремы Вейерштрасса. Дано: бесконечный ряд функций

$f(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots +f_k(z)+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z)$,

аналитических в некоторой области $D$ комплексной плоскости $ℂ$, $D\subseteq ℂ$, причём ряд равномерно сходится к сумме $f(z)$ в любой замкнутой области $\overline{D^{\prime }}$, полностью находящейся в исходной области $D$, $\overline{D^{\prime }}\subset D$. Доказать: в области $D$ функция $f(z)$ аналитическаяШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Шаблон:Конец рамки

Первая часть теоремы Вейерштрасса доказывается при помощи интегральной формулы Коши; тогда вторая часть теоремы Вейерштрасса следует из неравенств КошиШаблон:Sfn.

Приведём четыре разных доказательства первой части этой теоремы. Второе доказательство использует теорему МорерыШаблон:Sfn. Третье доказательство непосредственное и универсальное, по его схеме доказывается также и вторая часть теоремы ВейерштрассаШаблон:Sfn. При четвёртом доказательстве осуществляется переход от рядов функций к последовательностям функцийШаблон:Sfn.

Вторая часть теоремы Вейерштрасса

Шаблон:Рамка Вторая часть теоремы Вейерштрасса. Дано: бесконечный ряд функций

$f(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots +f_k(z)+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z)$,

аналитических в некоторой области $D$ комплексной плоскости $ℂ$, $D\subseteq ℂ$, причём этот ряд равномерно сходится к сумме $f(z)$ в любой замкнутой области $\overline{D^{\prime }}$, полностью находящейся в исходной области $D$, $\overline{D^{\prime }}\subset D$. Доказать: при дифференцировании этого ряда любое количество раз $m$ возникает новый ряд

$f^{(m)}(z)=f_1^{(m)}(z)+f_2^{(m)}(z)+\cdots +f_k^{(m)}(z)+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k^{(m)}(z)$,

также равномерно сходящийся в любой замкнутой области $\overline{D^{\prime }}\subset D$ и определяющий соответствующую производную функции $f(z)$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Шаблон:Конец рамки

Замечание. Если ряд

$f(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots +f_k(z)+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z)$

сходится равномерно во всей области $D$, то ряд из производных

$f^{\prime }(z)=f{\text{'}}_1(z)+f{\text{'}}_2(z)+\cdots +f{\text{'}}_k(z)+\cdots$,

будет сходиться вовсе не в этой же области $D$, а только в любой замкнутой области (компакте) $\overline{D^{\prime }}$, целиком лежащей в $D$. Например, ряд

$\frac{z}{1}+\frac{z^2}{2^2}+\frac{z^3}{3^2}+\cdots +\frac{z^n}{n^2}+\cdots$

сходится равномерно в замкнутом круге $|z|⩽1$, но ряд из его производных

$1+\frac{z}{2}+\frac{z^3}{3}+\cdots +\frac{z^{n-1}}{n}+\cdots$

сходится равномерно не в открытом круге $|z|<1$, а в любом меньшем замкнутом круге $|z|⩽r$, $r<1$Шаблон:Sfn.

Приведём два разных доказательства первой части этой теоремы. При втором доказательстве осуществляется переход от рядов функций к последовательностям функцийШаблон:Sfn.

Равномерная сходимость внутри области

Равномерная сходимость внутри области $D$ — равномерная сходимость ряда функций в точках любой ограниченной замкнутой области $\overline{D^{\prime }}$, полностью находящейся в области $D$, $\overline{D^{\prime }}⋐D$Шаблон:Sfn.

Произвольное множество $A$, замыкание которого принадлежит некоторому другому множеству $B$, $\overline{A}\subset B$, называется предкомпактным в $B$, или компактным относительно $B$, или строго содержащимся в $B$. Такое отношение двух множеств обозначается $A⋐B$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Некоторые авторы используют термин «равномерная сходимость» для сокращения теста. Любой ряд функций, просто равномерно сходящийся в области, сходится равномерно и в каждой её замкнутой подобласти и, следовательно, равномерно сходится внутри области. Обратное, в общем случае, неверно, как следует из следующего примераШаблон:Sfn.

Пример. Рассмотрим геометрический ряд

$1+z+z^2+\cdots +z^k+\cdots$,

который сходится в единичном круге $|z|<1$ неравномерно. При этом он равномерно сходится внутри единичного круга. Докажем это утверждение. Возьмём любую замкнутую подобласть $F$ единичного круга, и пусть расстояние от неё до границы исходной области — единичной окружности — равно $\delta$. Тогда для произвольной точки $z\in F$ получаем $|z|⩽1-\delta$, откуда имеем, что величина

$|z^{k+1}+\cdots +z^{k+p}|=\left|z^{k+1}\frac{1-z^p}{1-z}\right|⩽|z{|}^{k+1}\frac{1+|z{|}^p}{1-|z|}⩽(1-\delta {)}^{k+1}\frac{2}{\delta }$

стремится к нулю при $k\to \mathrm{\infty }$ и всегда может быть меньше любого $ϵ>0$ при некотором $N(ϵ)<k$. В итоге получили, что геометрический ряд равномерно сходится на всех точках любой замкнутой подобласти $F$ единичного круга и, следовательно, равномерно сходится внутри единичного круга, хотя и не сходится равномерно в единичном кругеШаблон:Sfn.

Примеры рядов, сходящихся не в области

Чтобы правильно использовать теорему Вейерштрасса, необходимо учитывать, что она сформулирована и доказана для рядов аналитических функций, равномерно сходящихся в области. Когда ряд равномерно сходится на любом не открытом множестве, теорема может быть невернаШаблон:Sfn.

По теореме Вейерштрасса в следующих двух примерах не существует области, которая включала бы точки всей действительной оси или хотя бы её произвольной части, в которой представленные ряды сходились бы равномерно. Иначе эти ряды вошли бы в противоречие с теоремой ВейерштрассаШаблон:Sfn.

Пример 1 (Вейерштрасс). Рассмотрим функцию

$f(x)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}^k\cos (ax\pi )$,

где $n$ — нечётное целое число, $0<b<1$. Этот ряд есть сумма функций, аналитических во всех точках действительной оси и даже во всех точках комплексной плоскости. Ряд равномерно сходится на действительной оси, так как абсолютная величина общего члена ряда $|b^k\cos (ax\pi )|⩽b^k$, где $\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{b}^k$ — сходящийся геометрический ряд. Но сумма ряда даже не аналитическая функция в точках действительной оси, поскольку, по результатам Вейерштрасса, эта сумма не дифференцируема ни при каких $x$Шаблон:Sfn.

Пример 2. Рассмотрим функциональный ряд

$\sin x+(\frac{\sin 2x}{2}-\sin x)+(\frac{\sin 3x}{3}-\frac{\sin 2x}{2})+\cdots$,

члены которого суть функции, аналитические во всех точках действительной оси и даже во всех точках комплексной плоскости. И этот ряд сходится равномерно на действительной оси. Кроме того, его сумма, тождественно равная нулю, есть аналитическая функция. Действительно, частичная сумма этого ряда равна

$\sin x+(\frac{\sin 2x}{2}-\sin x)+\cdots +(\frac{\sin kx}{k}-\frac{\sin (k-1)x}{k-1})=\frac{\sin kx}{k}$,

а $\left|\frac{\sin kx}{k}\right|⩽\frac{1}{k}$, следовательно, этот ряд сходится равномерно к нулю. Онако при почленном дифференцировании получается ряд

$\cos x+(\cos 2x-\cos x)+\cdots +(\cos kx-\cos (k-1)x)+\cdots$,

частичные суммы которого равны

$\cos x,\cos 2x,\cdots ,\cos kx,\cdots$,

следовательно, последовательность этих сумм расходится при любом $x\ne 2n\pi$, а при $x=2n\pi$ сходится к единице — величине, не равной производной от суммы рядаШаблон:Sfn.

Доказательство с использованием рядов Тейлора

Рассмотрим бесконечную последовательность степенных рядов

${𝔓}_1(z),{𝔓}_2(z),\dots ,{𝔓}_k(z),\dots$

с радиусами сходимости, большими некоторого числа $\rho >0$. Построив круг $\{K:z\in ℂ,|z|<\rho \}$, получим, что все эти ряды сходятся как внутри, так и на границе круга $K$Шаблон:Sfn.

Шаблон:Рамка Теорема о равномерной сходимости степенных рядов. Дано: степенной ряд функций

${𝔓}_1(z)+{𝔓}_2(z)+\cdots +{𝔓}_k(z)+\cdots$,

равномерно сходящийся на окружности $|z|=\rho$ круга $K$. Доказать: в любой внутренней точке $z$ круга $K$, $z\in K$, справедливо равенство

${𝔓}_1(z)+{𝔓}_2(z)+\cdots +{𝔓}_k(z)+\cdots =𝔓(z)$,

где $𝔓(z)$ — новые степенной ряд, образованный формальным сложением всех степенный рядов, находящихся в левой часи равенстваШаблон:Sfn. Шаблон:Конец рамки

Положим

${𝔓}_m(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_{km}{z}^k$,

тогда теорема утверждает, что ряды коэффициентов

$c_k=c_{k1}+c_{k2}+c_{k3}+\cdots$

сходятся при каждом $k=0,1,2,\dots ,$ а ряд

$𝔓(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{c}_k{z}^k$

сходится во всех внутренних точках круга $K$, причём имеет место следующее равенствоШаблон:Sfn:

${𝔓}_1(z)+{𝔓}_2(z)+\cdots +{𝔓}_k(z)+\cdots =𝔓(z)$.

Шаблон:Рамка Теорема Вейерштрасса о рядах. Дано: бесконечный ряд функций

$f(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots +f_k(z)+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z)$,

аналитических в некоторой области $D$ комплексной плоскости $ℂ$, $D\subseteq ℂ$, причём ряд равномерно сходится к сумме $f(z)$ в любой замкнутой области $\overline{D^{\prime }}$, полностью находящейся в исходной области $D$, $\overline{D^{\prime }}\subset D$. Доказать: 1) в области $D$ функция $f(z)$ аналитическая; 2) при дифференцировании этого ряда любое количество раз $m$ возникает новый ряд

$f^{(m)}(z)=f_1^{(m)}(z)+f_2^{(m)}(z)+\cdots +f_k^{(m)}(z)+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k^{(m)}(z)$,

также равномерно сходящийся в любой замкнутой области $\overline{D^{\prime }}\subset D$ и определяющий соответствующую производную функции $f(z)$Шаблон:Sfn. Шаблон:Конец рамки

Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области

Вейерштрасс доказал теорему, которой посвящена статья, без использования интеграла Коши. Он использовал так называемый элементарный метод, который основан на разложении голоморфных функций в ряд Тейлора. Но приведённые в статье доказательства с применением интеграла Коши по сути почти непосредственные и, кроме того, позволяют создать другую формулировку теоремы Вейерштрасса, которая используется в некоторых случаях. Эта новая формулировка определяется тем, что равномерная сходимость ряда или последовательности функций была использована только на границе области. В итоге получается следующая теоремаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Шаблон:Рамка Теорема Вейерштрасса о равномерной сходимости на границе области. Дано: бесконечный ряд функций

$f(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots +f_k(z)+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z)$,

аналитических в некоторой области $D$ комплексной плоскости $ℂ$, $D\subseteq ℂ$, и непрерывных в замкнутой области $\overline{D}$, причём ряд равномерно сходится на границе области $D$. Доказать: во всей замкнутой области $\overline{D}$ ряд также равномерно сходитсяШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Шаблон:Конец рамки

Доказанное свойство рядов аналитических функций верно также для аналитических или гармонических функций, определённых в областях как комплексного пространства ${ℂ}^n$, $n⩾1$, так и евклидова пространства ${𝔼}^n$, $n⩾2$. Более того, доказанное свойство рядов аналитических функций верно всегда, когда применим принцип максимума модуляШаблон:Sfn.

Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций

Обе теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах функций

$f_1(z)+f_2(z)+\cdots +f_k(z)+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z)=f(z)$

непосредственно распространяются на следующие равномерно сходящиеся последовательности функцийШаблон:Sfn:

$F_1(z),F_2(z),\dots ,F_k(z),\dots ,$ $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_k(z)=F(z).$

Замечание. В английской терминологии название теоремы Вейерштрасса таково, что оно подходит сразу для обоих формулировок теоремы (для рядов и для последовательностей): «предельная теорема Вейерштрасса», или «Теорема Вейерштрасса о голоморфности однородных пределов»Шаблон:Sfn.

Действительно, указанная последовательность функций представляется как последовательность частичных сумм следующего ряда функций:

$F_1(z)+(F_2(z)-F_1(z))+(F_3(z)-F_2(z))+\cdots +(F_k(z)-F_{k-1}(z))+\cdots ,$

причём эта последовательность функций сходится равномерно в некоторой области комплексной плоскости тогда и только тогда, когда равномерно сходится в этой области указанный ряд функций. Следовательно, обе теоремы Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах функций применимы к равномерно сходящихся последовательностям функцийШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Сформулируем одну из теорем Вейерштрасса — о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций — для равномерно сходящейся последовательности функцийШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Шаблон:Рамка Теорема Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций. Дано: бесконечная последовательность функций

$F_1(z),F_2(z),\cdots ,F_k(z),\cdots$,

аналитических в некоторой области $D$ комплексной плоскости $ℂ(z)$, $D\subseteq {ℂ}^n$, равномерно сходится к функции $F(z)$ в любой замкнутой области $\overline{D^{\prime }}$, полностью находящейся в исходной области $D$, $\overline{D^{\prime }}\subset D$. ДоказатьШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

1) в области $D$ функция $F(z)$ аналитическая;

2) при дифференцировании этой последовательности возникает новая последовательность, также равномерно сходящаяся в любой замкнутой области $\overline{D^{\prime }}\subset D$ и определяющая производную функции $F(z)$, то есть последовательность можно почленно дифференцировать любое количество раз:

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{d^m{F}_k(z)}{d{z}^m}=\frac{d^{m}F(z)}{d{z}^m}$

при любом $m$.

Теорема Вейерштрасса о семействах аналитических функций

Обобщение последовательности комплексных функций

$F_1(z),F_2(z),\dots ,F_k(z),\dots ,$ $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_k(z)=F(z).$

с натуральным параметром $k$, используемых в теореме Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций, — это семейство функций с непрерывным параметром $\alpha$: $F_{\alpha }(z)$Шаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Шаблон:Рамка Теорема Вейерштрасса о семействах аналитических функций. Дано: функция $F_{\alpha }(z)$, аналитическая в некоторой области $D$ комплексной плоскости $ℂ(z)$, $D\subseteq ℂ$, для всех значений комплексного параметра $\alpha$, лежащих в некоторой окрестности ${\alpha }_0$, $\alpha \in {\alpha }_0\subset ℂ$, причём предел

$\underset{\alpha \to {\alpha }_0}{\lim }{F}_{\alpha }(z)=F(z)$

достигается равномерно в области $D$. ДоказатьШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn:

1) в области $D$ функция $F(z)$ аналитическая;

2) нахождение производных и интегралов от функции $\phi (z)$ можно проводить под знаком предела.

Эта теорема просто получается из теоремы Вейерштрасса о последовательностях аналитических функций при построении произвольной последовательности

${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots ,{\alpha }_k,\dots ,$ $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\alpha }_k={\alpha }_0,$

поскольку предел

$\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }{F}_{{\alpha }_k}(z)=F(z)$

достигается равномерно, и тогда к ряду с частичными суммами

$F_{{\alpha }_1}(z),F_{{\alpha }_2}(z),\dots ,F_{{\alpha }_k}(z),\dots$

применяется теорем Вейерштрасса. Отсюда переход к утверждениям теоремы просто осуществляется при обычной формулировке определения предела $\underset{\alpha \to {\alpha }_0}{\lim }{F}_{\alpha }(z)$Шаблон:SfnШаблон:Sfn.

Пример применения теоремы Вейерштрасса, сформулированной для случая семейства функций — исследование несобственного интеграла типа КошиШаблон:Sfn.

Несобственный интеграл типа Коши

Рассмотрим неограниченную с одной стороны кривую $L$, определяемую следующим образом:

$z=\lambda (t),$ $\alpha ⩽t<\beta ,$ $\underset{t\to \beta }{\lim }\lambda (t)=\mathrm{\infty },$

и любая её конечная Шаблон:Iw $L_{\tau }$, $\alpha ⩽t⩽\tau <\beta$, спрямляемаШаблон:Sfn.

Введём семейство функций $\{F_{\tau }(z)\}$, составленное из интегралов типа Коши:

$F_{\tau }(z)=\frac{1}{2\pi i}\underset{L_{\tau }}{\int }\frac{\phi (w)dw}{w-z}$,

причём $\phi (w)$ — непрерывная функция, определённая на кривой $L$, и поэтому функции семейства $\{F_{\tau }(z)\}$ определены и аналитичны в любой области, в которой нет точек кривой $L$Шаблон:Sfn.

Лемма. Чтобы семейство функций $\{F_{\tau }(z)\}$ равномерно сходилось в каждой ограниченной замкнутой области $\overline{D}$, в которой нет точек кривой $L$, должно, например, выполняться условие абсолютной сходимости интеграла $\underset{L}{\int }\phi (w)dw$, что равнозначно существованию следующего пределаШаблон:Sfn:

$\underset{\tau \to \beta }{\lim }\underset{L_{\tau }}{\int }|\phi (w)|d\sigma =\underset{L}{\int }|\phi (w)|d\sigma$.

Доказательство. В каждой ограниченной замкнутой области $\overline{D}$, в которой нет точек кривой $L$, получаем:

$|F_{{\tau }^{\prime }}(z)-F_{\tau }(z)|=\left|\frac{1}{2\pi i}\underset{L_{{\tau }^{\prime }}\setminus L_{\tau }}{\int }\frac{\phi (w)dw}{w-z}\right|⩽\frac{1}{2\pi \rho }|\underset{L_{{\tau }^{\prime }}}{\int }|\phi (w)|d\sigma -\underset{L_{\tau }}{\int }|\phi (w)|d\sigma |$,

где $\rho$ — расстояние между замкнутой областью $\overline{D}$ и кривой $L$. Кроме того, для любого $ϵ>0$ имеется такое $\beta (ϵ)<\beta$, что при $\tau ,{\tau }^{\prime }>\beta (ϵ)$ верно следующее неравенствоШаблон:Sfn:

$|F_{{\tau }^{\prime }}(z)-F_{\tau }(z)|<ϵ$. □

Несобственный интеграл типа Коши вдоль неограниченной кривой $L$, или интеграл типа Коши вдоль $L$ — несобственный интеграл

$\frac{1}{2\pi i}\underset{L}{\int }\frac{\phi (w)dw}{w-z}=\underset{\tau \to \beta }{\lim }\frac{1}{2\pi i}\underset{L_{\tau }}{\int }\frac{\phi (w)dw}{w-z}$,

который существует, когда функции семейства $\{F_{\tau }(z)\}$ определены и аналитичны в любой области, в которой нет точек кривой $L$, а само семейство равномерно сходится в каждой такой областиШаблон:Sfn.

Из теоремы Вейерштрасса о семействах аналитических функций следует, что этот интеграл типа Коши есть некоторая аналитическая функция $F(z)$ в любой области, в которой нет точек кривой $L$Шаблон:Sfn.

Из теоремы Вейерштрасса о семействах аналитических функций также следует, что семейство производных

$\{F_{\tau }^{(m)}(z)=\frac{m!}{2\pi i}\underset{L_{\tau }}{\int }\frac{\phi (w)dw}{(w-z{)}^{m+1}}\}$

также равномерно сходится к $F^{(m)}(z)$. С другой стороны, из равномерной сходимости семейства производных $\{F_{\tau }^{(m)}(z)\}$ вытекает, что имеется также следующий несобственный интегралШаблон:Sfn:

$\frac{m!}{2\pi i}\underset{L}{\int }\frac{\phi (w)dw}{(w-z{)}^{m+1}}=\underset{\tau \to \beta }{\lim }\frac{m!}{2\pi i}\underset{L_{\tau }}{\int }\frac{\phi (w)dw}{(w-z{)}^{m+1}}$.

Поэтому

$F^{(m)}(z)=\frac{m!}{2\pi i}\underset{L}{\int }\frac{\phi (w)dw}{(w-z{)}^{m+1}}$,

то есть свойства, имеющие место для интегралов типа Коши, справедливы и для несобственных интегралов типа КошиШаблон:Sfn.

Полученные результаты обобщаются без изменения на случай, когда кривая $L$ неограниченна с обеих сторон, другими словами, функция $z=\lambda (t)$, определенная в интервале $\alpha <t<\beta$, удовлетворяет условиям $\underset{t\to \alpha }{\lim }\lambda (t)=\underset{t\to \beta }{\lim }\lambda (t)=\mathrm{\infty }$ (например, кривая $L$ — прямая или парабола)Шаблон:Sfn.

Обобщение на комплексное пространство

Теоремы Вейерштрасса обобщаются на ряды аналитических функций многих комплексных переменных, сохраняя название и формулировкуШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:SfnШаблон:Sfn. Также интегрирование функции по кривой или поверхности, замыкание которых принадлежит исходной ограниченной области, производится почленным интегрированием исходного ряда. Аналогичные предложения имеют место и для кратных рядов, составленных из голоморфных функций. Доказательство этих теорем осуществляется так же, как в случае одного переменногоШаблон:Sfn.

Сформулируем одну из теорем Вейерштрасса — о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций — для случая нескольких комплексных переменныхШаблон:SfnШаблон:Sfn.

Шаблон:Рамка Теорема Вейерштрасса о равномерно сходящихся рядах голоморфных функций. Дано: бесконечный ряд функций

$f(z)=f_1(z)+f_2(z)+\cdots +f_k(z)+\cdots =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_k(z)$,

голоморфных в некоторой области $D$ комплексного пространства ${ℂ}^n(z)$, $n⩾1$, $z=(z_1,z_2,\dots ,z_n)$, $D\subseteq {ℂ}^n$, причём ряд равномерно сходится к сумме $f(z)$ в любой замкнутой области $\overline{D^{\prime }}$, полностью находящейся в исходной области $D$, $\overline{D^{\prime }}\subset D$. ДоказатьШаблон:SfnШаблон:Sfn:

1) в области $D$ функция $f(z)$ голоморфная;

2) при любом частном дифференцировании этого ряда любое количество раз возникает новый ряд, также равномерно сходящийся в любой замкнутой области $\overline{D^{\prime }}\subset D$ и определяющий соответствующую частную производную функции $f(z)$, то есть ряд можно почленно дифференцировать любым способом любое количество раз:

$\frac{{\partial }^{|m|}f(z)}{\partial z_1^{m_1}\partial z_2^{m_2}\dots \partial z_n^{m_n}}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\partial }^{|m|}{f}_k(z)}{\partial z_1^{m_1}\partial z_2^{m_2}\dots \partial z_n^{m_n}},$

$m=(m_1,\dots ,m_n)\in {\mathbb{Z}}_0^n,|m|=m_1+\cdots +m_n,$

или

$\frac{{\partial }^{|m|}f(z)}{\partial z^m}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\partial }^{|m|}{f}_k(z)}{\partial z^m},$ или $D^{m}f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{D}^m{f}_k(z).$

Доказательство этой теоремы аналогично доказательству в случае одного переменного на комплексной плоскостиШаблон:Sfn.

Источники

• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H
• Шаблон:H