Просмотр кода страницы Теорема Вейля о равномерном распределении

'''Теорема Вейля о равномерном распределении''' формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка <math>(0;1)</math>.

Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году [[Герман Вейль|Германом Вейлем]].<ref>{{статья|автор=[[Вейль, Герман|Hermann Weyl]].|заглавие=Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins|ссылка=https://eudml.org/doc/158730|издание=[[Mathematische Annalen]]|volume=77|год=1916|страницы=313-352|archivedate=2017-08-15|archiveurl=https://web.archive.org/web/20170815175907/https://eudml.org/doc/158730}}</ref><ref name="Chandrasekharan">{{книга|автор=К. Чандрасекхаран|заглавие=Введение в аналитическую теорию чисел|издательство=Мир|год=1968|страница=181|ссылка=https://books.google.ru/books?id=N81LYAAACAAJ|archive-date=2014-11-29|archive-url=https://web.archive.org/web/20141129084343/https://books.google.ru/books?id=N81LYAAACAAJ}}</ref>

== Определения ==
Пусть <math>\xi_1, \xi_2, \dots</math> — бесконечная последовательность вещественных чисел из интервала <math>(0;1)</math>

Для чисел <math>a,b \in (0;1),\ a < b</math> обозначим через <math>\varphi_n(a, b) = \# \left\lbrace{ k : 1 \le k \le n, \xi_k \in (a;b) }\right\rbrace</math> количество чисел из <math>\xi_1, \dots, \xi_n</math>, лежащих в отрезке <math>(a;b)</math>.

Определим [[Частичный предел последовательности|предельное наибольшее]] отклонение как <math>D_{\xi} = \lim \sup_{n \to \infty} {\left({ \frac{\varphi_n (a,b)}{n} - (b - a) }\right)}</math>.

Последовательность <math>\xi_1, \xi_2, \dots</math> называется равномерно распределённой в <math>(0;1)</math> если <math>D_{\xi} = 0</math>. Иными словами, последовательность равномерно распределённа в <math>(0;1)</math> если в любом ненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к доле размера отрезка в <math>(0;1)</math>.

== Формулировка теоремы ==
{{рамка}}
Последовательность <math>\left({ \xi_n }\right)_{n=1}^{\infty}, \xi_n \in (0;1)</math> равномерно распределена в <math>(0;1)</math> тогда и только тогда, когда для любой [[Интеграл Римана|интегрируемой по Риману]] на отрезке <math>(0;1)</math> функции <math>f</math> выполняется тождество:

: <math>\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f(\xi_k)}} = \int \limits_{0}^{1} {f(x) dx}</math>
{{конец рамки}}

{{Hider|
  title = Доказательство|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =

Очевидно, что утверждение о равномерной распределённости эквивалентно выполнению тождества для [[Кусочно-заданная функция|кусочно-постоянных]] функций вида <math>f(x) = \left\lbrace{ \begin{matrix} 1, x \in (a;b) \\ 0, x \not \in (a;b) \end{matrix} }\right.</math>. Это сразу обеспечивает следствие равномерности из выполнения тождества для всех функций.

Более того, в случае равномерной распределённости последовательности, с помощью композиции таких функций и соответствующих умножений (на константу) и сложений пределов и интегралов можно доказать выполнение тождества для любой кусочно-постоянной функции.

Так как любая интегрируемая по Риману функция <math>f</math> может быть с точностью до величины интеграла <math>\varepsilon = \int_{0}^{1} {|f(x) - f_1(x)| dx}</math> [[Аппроксимация|аппроксимирована]] кусочно-постоянной функцией <math>f_1</math> (причём такой, что <math>\forall x:\ |f_1(x) - f(x)| < \varepsilon</math>) для <math>\varepsilon > 0</math>, то

: <math>\Bigg|{ \lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f_1 (\xi_k)}} - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| = \Bigg|{ \int_{0}^{1} {f_1(x) dx} - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| < \varepsilon </math>

: <math>\exists N:\ \forall n>N:\ \Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f_1 (\xi_k)} - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| < 2 \varepsilon</math>

Так как по определению <math>f_1</math> следует <math>\Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)} - \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f_1 (\xi_k)} }\Bigg| = \Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {(f (\xi_k) - f_1(\xi_k))} }\Bigg| < \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {|f(\xi_k) - f_1(\xi_k)}| < \varepsilon</math>, то для достаточно больших <math>n</math> будет выполнено

: <math>\Bigg|{ \frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)} - \int_{0}^{1} {f(x) dx} }\Bigg| < \varepsilon</math>,

Так как в эти рассуждения можно подставить сколь угодно малое <math>\varepsilon > 0</math>, то это и означает, что

: <math>\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {f (\xi_k)}} = \int_{0}^{1} {f(x) dx}</math>

}}

== Следствия ==

{{якорь|тригсуммы}}
=== Критерий с тригонометрическими суммами ===
Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределения с [[Тригонометрическая сумма|тригонометрическими суммами]].<ref name="Chandrasekharan" />

{{рамка}}
Последовательность <math>\left({ \xi_n }\right)_{n=1}^{\infty}, \xi_n \in (0;1)</math> равномерно распределена в <math>(0;1)</math> тогда и только тогда, когда для любого целого <math>m \not = 0</math> выполнено

: <math>\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {e^{2 \pi m \xi_k i}}} = 0</math>
{{конец рамки}}

Доказательство последнего утверждения проводится аналогично доказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимации кусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммами [[Ряд Фурье|ряда Фурье]].

Константа <math>0</math> в формуле фактически является значением интеграла <math>\int \limits_{0}^{1} {e^{2 \pi m x i} dx} = 0</math>.

==== Дробные части от кратных иррациональным ====
Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы, легко вывести следующий результат:

{{рамка}}
Обозначим через <math>\left\lbrace{ x }\right\rbrace</math> [[Дробная часть|дробную часть]] числа <math>x</math>

Если <math>\xi \in {\mathbb R}</math> — иррациональное число, то последовательность <math>\left\lbrace{ \xi }\right\rbrace, \left\lbrace{ 2 \xi }\right\rbrace, \left\lbrace{ 3 \xi }\right\rbrace, \dots, \left\lbrace{ n \xi }\right\rbrace, \dots</math> равномерно распределена в <math>(0;1)</math>.
{{конец рамки}}

{{Hider|
  title = Доказательство|
  hidden = 1 |
  title-style = text-align: left; |
  content-style = text-align: left; |
  content =

Для доказательства через критерий равномерности в тригонометрической форме достаточно оценить [[Комплексное число#Модуль и аргумент|модуль]] тригонометрической суммы при иррациональном <math>\xi_k = k \xi</math> и целом <math>m \not = 0</math>. Для этого можно воспользоваться простейшей формулой [[Геометрическая прогрессия#Свойства|суммы геометрической прогрессии]].

: <math>\Bigg\vert{ \sum \limits_{k=1}^{n} {e^{2 \pi m k \xi}} }\Bigg\vert = \Bigg\vert{ \frac{e^{2 \pi m \xi} - e^{2 \pi m (n + 1) \xi}}{1 - e^{2 \pi m \xi}} }\Bigg\vert = \frac{\vert{ e^{2 \pi m \xi} - e^{2 \pi m (n + 1) \xi} }\vert}{\vert{ e^{2 \pi m \xi} - 1 }\vert} < \frac{2}{\vert{ e^{2 \pi m \xi} - 1 }\vert}</math>

Так как величина <math>\vert{ e^{2 \pi m \xi} - 1 }\vert</math> не зависит от <math>n</math>, то при каждом отдельном фиксированном <math>m \not = 0</math> из неравенства выше следует

: <math>\lim \limits_{n \to \infty} {\frac{1}{n} \sum \limits_{k=1}^{n} {e^{2 \pi m k \xi i}}} = 0</math>

}}

== Литература ==
* {{книга
 | автор         = Кейперс Л., Нидеррайтер Г.
 | заглавие      = Равномерное распределение последовательностей
 | место         = М.
 | издательство  = Наука
 | год           = 1985
 | страниц       = 408
}}
* {{книга
 | автор         = Касселс Дж.В.С.
 | заглавие      = Введение в теорию диофантовых приближений
 | место         = М.
 | издательство  = Издательство иностранной литературы
 | год           = 1961
 | страниц       = 213
}}

== Примечания ==
{{примечания}}

[[Категория:Теоремы теории чисел]]
[[Категория:Аналитическая теория чисел]]