Просмотр кода страницы Теорема Грушко о разложении

'''Теорема Грушко о разложении''' даёт единственное разложение конечно порождённой группы в [[свободное произведение]] групп.

Доказана [[Грушко, Игорь Александрович|Игорем Александровичем Грушко]] в 1940 году и независимо {{iw|Нойман, Бернард|Бернардом Нойманом|de|Bernhard Neumann (Mathematiker)}} в 1943 году.

Эта теорема является теоретико-групповым аналогом теоремы Кнесера о разложении для 3-мерных многообразий, которая утверждает, что  любое замкнутое 3-мерное многообразие представляется как связная сумма неприводимых 3-мерных многообразий.

== Формулировка ==

Любая нетривиальная конечно порожденная группа <math>G</math> может быть разложена как [[свободное произведение]]
:<math>G=A_1*\dots*A_r*F_s</math>,
где каждая из группа <math>A_i</math> нетривиальна и не свободная (в частности не бесконечная [[циклическая группа]]), и <math>F_s</math> — [[свободная группа]] ранга <math>s</math>.
Более того, это разложение единственно с точностью до перестановки.

=== Замечания ===
* Существование разложения следует из теоремы Глушко о том, что [[Ранг группы|ранг]] свободного произведения конечнопорождённых групп равен сумме рангов; то есть
*:<math>\mathrm{rank}(A*B)=\mathrm{rank}A+\mathrm{rank}B</math>
: для любой пары конечнопорождённых групп <math>A</math> и <math>B</math>. Единственность требует дополнительного рассуждения.

== Литература ==
* {{статья|автор=И. А. Грушко|заглавие=О базисах свободного произведения групп|ссылка=|язык=|издание=Математический сборник|год=1940|том=8(50)|номер=1|страницы=169–182|doi=|issn=}}
* B. H. Neumann. ''On the number of generators of a free product.''  Journal of the London Mathematical Society, vol 18, (1943), pp. 12—20.

[[Категория:Геометрическая теория групп]]
[[Категория:Маломерная топология]]
[[Категория:Теоремы теории групп]]