Теорема Грушко о разложении

Теорема Грушко о разложении даёт единственное разложение конечно порождённой группы в свободное произведение групп.

Доказана Игорем Александровичем Грушко в 1940 году и независимо Шаблон:Iw в 1943 году.

Эта теорема является теоретико-групповым аналогом теоремы Кнесера о разложении для 3-мерных многообразий, которая утверждает, что любое замкнутое 3-мерное многообразие представляется как связная сумма неприводимых 3-мерных многообразий.

Формулировка

Любая нетривиальная конечно порожденная группа $G$ может быть разложена как свободное произведение

$G=A_1*\dots *A_r*F_s$,

где каждая из группа $A_i$ нетривиальна и не свободная (в частности не бесконечная циклическая группа), и $F_s$ — свободная группа ранга $s$. Более того, это разложение единственно с точностью до перестановки.

Замечания

• Существование разложения следует из теоремы Глушко о том, что ранг свободного произведения конечнопорождённых групп равен сумме рангов; то есть

  $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A*B)=\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}A+\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}B$

для любой пары конечнопорождённых групп $A$ и $B$. Единственность требует дополнительного рассуждения.

Литература

• Шаблон:Статья
• B. H. Neumann. On the number of generators of a free product. Journal of the London Mathematical Society, vol 18, (1943), pp. 12—20.