Просмотр кода страницы Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

{{Другие значения|Теорема Лагранжа}}
'''Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов''' — утверждение о том, что всякое [[натуральное число]] можно представить в виде суммы четырёх [[квадрат (число)|квадратов]] [[целое число|целых чисел]].

Утверждение теоремы впервые появилось в «[[Арифметика (Диофант)|Арифметике]]» [[Диофант Александрийский|Диофанта]], переведённой на латынь [[Баше де Мезириак, Клод Гаспар|Баше]] в 1621 году. Важную для теоремы [[Тождество четырёх квадратов|лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов]], доказал [[Эйлер, Леонард|Эйлер]], который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа<ref name="Карацуба" />; [[Лагранж, Жозеф Луи|Лагранж]] доказал теорему в [[1770 год в науке|1770 году]].

Теорема является решением [[Проблема Варинга|проблемы Варинга]] для степени <math>n=2</math>. Поскольку числа вида <math>4^m(8n+7),</math> где <math>\overline{m,n}=\overline{0,1,2,\;\ldots}</math>, непредставимы суммой трёх квадратов согласно [[Теорема Лежандра о трёх квадратах|теореме Лежандра о трёх квадратах]]<ref name="Карацуба">[http://dx.doi.org/10.4213/book231 Современные проблемы математики: Рецензируемое издание Математического института имени В. А. Стеклова РАН. — 2008. — Выпуск № 11.] — С. 22.</ref>, то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений [[Проблема Варинга#Основные результаты|функции Харди]] <math>G(2)=4</math>.

Существует [[конструктивное доказательство]] — алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа <math>N</math> с помощью <math>O(N^2\log_{2}{N})</math> арифметических операций<ref>{{книга |автор=Тихомиров В. М. |часть=Глава 4. Лагранж и его теорема о четырёх квадратах |заглавие=Великие математики прошлого и их великие теоремы |том=1 |издательство=[[МЦНМО]] |год=2003 |издание=2-е изд., испр |страниц=16 |серия=[[Библиотека «Математическое просвещение»]] |isbn=5-94057-110-7 |ссылка=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.1.pdf |ссылка часть=http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=1&page=5 |archive-date=2011-07-08 |archive-url=https://web.archive.org/web/20110708175424/http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/book.1.pdf }}</ref>. Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств [[кватернион]]ов<ref>''Дрозд Ю. А.'' Теорема о четырёх квадратах // Математика сегодня / Ред. [[Дороговцев, Анатолий Яковлевич|А. Я. Дороговцев]]. — {{К.}}: Вища школа, 1982. — С. 88—93.</ref>.

Примеры:
: <math> 3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2</math>
: <math> 31 = 5^2 + 2^2 + 1^2 + 1^2</math>
: <math>310 = 17^2 + 4^2 + 2^2 + 1^2</math>
: <math> 9 = 3^2 + 0^2 + 0^2 + 0^2</math>

== Примечания ==
{{Примечания}}

{{перевести|en|Lagrange's four-square theorem}}
{{Внешние ссылки}}
{{math-stub}}

[[Категория:Диофантовы уравнения]]
[[Категория:Теоремы теории чисел|Лагранжа о сумме четырёх квадратов]]
[[Категория:Аналитическая теория чисел]]
[[Категория:Аддитивная теория чисел]]