Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов

Шаблон:Другие значения Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов — утверждение о том, что всякое натуральное число можно представить в виде суммы четырёх квадратов целых чисел.

Утверждение теоремы впервые появилось в «Арифметике» Диофанта, переведённой на латынь Баше в 1621 году. Важную для теоремы лемму о том, что произведение сумм четырёх квадратов есть сумма четырёх квадратов, доказал Эйлер, который был близок к доказательству самой теоремы Лагранжа; Лагранж доказал теорему в 1770 году.

Теорема является решением проблемы Варинга для степени $n=2$. Поскольку числа вида $4^m(8n+7),$ где $\overline{m,n}=\overline{0,1,2,\dots }$, непредставимы суммой трёх квадратов согласно теореме Лежандра о трёх квадратах, то теорема Лагранжа даёт одно из двух известных значений функции Харди $G(2)=4$.

Существует конструктивное доказательство — алгоритм, позволяющий находить такое представление для числа $N$ с помощью $O(N^2{\log }_{2}N)$ арифметических операций. Другой вариант доказательства основан на использовании алгебраических свойств кватернионов.

Примеры:

$3=1^2+1^2+1^2+0^2$

$31=5^2+2^2+1^2+1^2$

$310=17^2+4^2+2^2+1^2$

$9=3^2+0^2+0^2+0^2$