Тождество четырёх квадратов

Тождество Эйлера о четырёх квадратах — разложение произведения сумм четырёх квадратов в сумму четырёх квадратов.

Формулировка

$\begin{array}{cc}& (a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\\ & =(a_1{b}_1-a_2{b}_2-a_3{b}_3-a_4{b}_4{)}^2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1+a_3{b}_4-a_4{b}_3{)}^2+\\ & +(a_1{b}_3-a_2{b}_4+a_3{b}_1+a_4{b}_2{)}^2+(a_1{b}_4+a_2{b}_3-a_3{b}_2+a_4{b}_1{)}^2.\end{array}$

Это тождество выполняется для элементов любого коммутативного кольца. Однако если $a_i$ и $b_i$ — вещественные числа, тогда тождество может быть переформулировано в терминах кватернионов, а именно: модуль произведения двух кватернионов равен произведению модулей сомножителей:

$|a\cdot b|=|a|\cdot |b|$.

Аналогичные тождества

• «тождество одного квадрата»

$a^2\cdot b^2=(ab{)}^2$

означает, что модуль произведения двух действительных чисел равен произведению модулей сомножителей:

$|ab|=|a||b|$,

• «тождество двух квадратов» (т. н. тождество Брахмагупты)

$(a_1^2+a_2^2)\cdot (b_1^2+b_2^2)=(a_1{b}_1-a_2{b}_2{)}^2+(a_1{b}_2+a_2{b}_1{)}^2$

означает, что модуль произведения двух комплексных чисел равен произведению модулей сомножителей:

$|ab|=|a||b|$,

• «тождество восьми квадратов» означает, что модуль произведения двух октонионов равен произведению модулей сомножителей:

  $|ab|=|a||b|$.

Во всех этих случаях итоговые функции (чья сумма квадратов и равна произведению квадратов исходных сумм) есть билинейные функции исходных переменных.

Однако аналогичного «тождества шестнадцати квадратов» нет. Зато есть схожая (для 2^N квадратов, где N — любое натуральное число) существенно иная форма, уже лишь для рациональных функции исходных переменных — по теореме А. Пфистера.

История

Тождество было выведено Эйлером в 1750 году — почти за 100 лет до появления кватернионов.

Это тождество было использовано Лагранжем в доказательстве его теоремы о сумме четырёх квадратов.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера