Просмотр кода страницы Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби

'''Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби''' — утверждение о достаточных условиях интегрируемости в квадратурах (существования решения в виде комбинации [[Элементарные функции|элементарных функций]] и интегралов от них)
[[Уравнение Гамильтона — Якоби|уравнения Гамильтона — Якоби]].

== Формулировка ==
Если в [[Голономная система|голономной системе]] с <math>s</math> степенями свободы [[кинетическая энергия]] <math>T</math>
имеет вид
: <math>T=\frac{1}{2}f\sum_{m=1}^{s}A_{m}(q_m)\dot{q}_{m}^{2}</math>
и [[потенциальная энергия]] <math>\Pi</math> имеет вид
: <math>\Pi=\frac{1}{f}\sum_{m=1}^{s}\Pi_{m}(q_{m})</math>,
где <math>f=\sum_{m=1}^{s}F_{m}(q_{m})</math>, то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации
[[Элементарные функции|элементарных функций]] и интегралов от них).{{sfn|Бутенин|с=167|1971}}

== Доказательство ==
[[Функция Гамильтона]] для условий теоремы имеет вид:
: <math>H = T + \Pi = \frac{1}{2}f\sum_{m=1}^{s}A_{m}(q_m)\dot{q}_{m}^{2} +\frac{1}{f}\sum_{m=1}^{s}\Pi_{m}(q_{m}) = h</math>.
Обобщенные импульсы равны
: <math>p_{m}=\frac{\partial T}{\partial \dot{q}_{m}} = f A_{m}(q_{m})\dot{q}_{m}</math>.
С учётом этого функция Гамильтона:
: <math>H=\frac{1}{f}\sum_{m=1}^{s}\left [ \frac{p_{m}^{2}}{2A_{m}(q_{m})} + \Pi_{m}(q_{m}) \right ] = h</math>.
Произведем замену <math>p_{m}=\frac{\partial W}{\partial q_{m}}</math>. Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид{{sfn|Бутенин|с=168|1971}}:
: <math>\sum_{m=1}^{s} \left [ \frac{1}{2A_{m}(q_{m})} \left ( \frac{\partial W}{\partial q_{m}}\right)^2 + \Pi_{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m}) \right ] = 0</math>.
Будем искать полный интеграл этого уравнения в виде:
: <math>W = W_{1}(q_{1}) + W_{2}(q_{2}) + ... + W_{s}(q_{s})</math>.
Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид:
: <math display="block">\sum_{m=1}^{s} \left [ \frac{1}{2A_{m}(q_{m})} \left ( \frac{\partial W_{m}}{\partial q_{m}} \right )^{2} + \Pi_{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})  \right ] = 0 \qquad(1)</math>

Каждое слагаемое левой части этого уравнения зависит только от одной обобщённой координаты <math>q_{m}</math>, поэтому можно применить метод разделения переменных. Это уравнение выполняется, если каждое из слагаемых равно постоянной величине:
: <math> \frac{1}{2A_{m}(q_{m})} \left ( \frac{\partial W_{m}}{\partial q_{m}} \right )^{2}+ \Pi_{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m}) = \alpha_{m}</math>,
причем должно выполняться условие <math>\alpha_{1} + \alpha_{2} + ... \alpha_{s} = 0</math>. Каждое из уравнений (1) является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого сводится к квадратуре:
: <math>W_{m}=\int \sqrt{2A_{m}(q_{m}) \left [  \alpha_{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi_{m}(q_{m})\right ] } dq_{m}</math>.
Таким образом, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби равен:
: <math>W = \sum_{m=1}^{s} \int \sqrt{2A_{m}(q_{m}) \left [  \alpha_{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi_{m}(q_{m})\right ] } dq_{m}</math>
Этот интеграл содержит <math>s</math> произвольных постоянных <math>h, \alpha_{1}, \alpha_{2}, ... , \alpha_{s-1}</math> и постоянную <math>\alpha_{s} = - ( \alpha_{1}+\alpha_{2}+...+\alpha_{s-1} )</math>{{sfn|Бутенин|с=169|1971}}

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга
 | автор           = [[Бутенин, Николай Васильевич|Бутенин Н.В.]]
 | заглавие      = Введение в аналитическую механику
 | место          = М.
 | издательство  = Наука
 | год           = 1971
 | страниц    = 264
 | ref             = Бутенин
 }}

[[Категория:Теоретическая механика]]
[[Категория:Физические теоремы|Лиувилля]]
[[Категория:Именные законы и правила|Лиувилля]]