Просмотр кода страницы Теорема Софи Жермен



'''Теорема Софи Жермен''' — это утверждение, что если переменные x, y и z в уравнении <math>x^5+y^5=z^5</math> являются нечетными простыми целыми числами, то одна из переменных должна делиться на 5. Решение теоремы [[Жермен, Софи|Софи Жермен]] изложила в письме [[Ферма, Пьер|Пьеру Ферма]] в 1808 году. Эта доказательство является частным случаем решения [[Великая теорема Ферма|Великой теоремы Ферма]]<ref>{{Книга|автор=Асланов Р.М.О.|заглавие=Современный учитель дисциплин естественнонаучного цикла. Сборник материалов Международной научно-практической конференции|ответственный=Ответственный редактор Т.С. Мамонтова|год=2019|часть=История науки: роль женщин-математиков франции|ссылка часть=https://www.elibrary.ru/item.asp?id=36984485|язык=|страницы=25-30}}</ref>.

== Описание ==
Исследуя [[Великая теорема Ферма|Великую теорему Ферма]], [[Софи Жермен]] доказала следующую теорему:
{{теорема|
Если <math>p</math> — [[простое число]], а для простого числа <math>q</math> верны следующие 2 условия: 

1). Среди остатков от деления <math>p</math>-ых степеней на <math>q</math> нет соседних, кроме нуля и единицы.

2). Число <math>p</math> не является <math>p</math>-ой степенью по модулю <math>q</math>.

Тогда для показателя <math>p</math> справедлив первый случай теоремы Ферма (уравнение <math>x^p+y^p=z^p</math> неразрешимо в натуральных <math>x,y,z</math>, где <math>xyz</math> не делится на <math>p</math>) <ref>{{статья |автор=М. М. Постников |заглавие=Теорема Ферма |издательство=НАУКА Главная редакция физико-математической литературы |год=1978 |страницы=24 }} </ref>
}}

В частности, если <math>p</math> и <math>2p+1</math> просты (при этом <math>p</math> называется [[числа Софи Жермен|числом Софи Жермен]]), то для <math>p</math> справедлив первый случай теоремы Ферма.<ref>{{статья|автор=М. М. Постников|заглавие=Теорема Ферма|год=1978|издательство=НАУКА Главная редакция физико-математической литературы|страницы=25}} </ref>
{{hider|title=Доказательство|content=Пусть <math>x^p+y^p=z^p</math>, но <math>x,y,z</math> взаимно просты с q. Тогда найдём такое <math>n,</math> для которого <math>nx\equiv 1(\bmod q).</math> При этом <math>(nx)^p+(ny)^p=(nz)^p,</math> и <math>(nz)^p\equiv (ny)^p+1,</math> и <math>x,y</math> или <math>z</math> делятся на <math>q.</math>
|hide=1}}
Полезно иметь в виду, что любая <math>p</math>-ая степень <math>\xi</math> по модулю <math>q=2mp+1</math> удовлетворяет сравнению

<math>\xi^{2m}\equiv 1 \pmod{p}</math>

Действительно, если <math>\xi=a^l \pmod{p}</math>, где <math>a\not\equiv 0 \pmod{p}</math>, то по [[Малая теорема Ферма|малой теореме Ферма]] <math>\xi^{2m}\equiv a^{2ml}\equiv a^{p-1}\equiv 1 \pmod{p}</math>

При <math>m=1</math> для любого простого <math>p</math> существует только 2 несравнимых числа ξ , удовлетворяющих сравнению <math>\xi^{2}\equiv 1 \pmod{p}</math>, а именно числа <math>1</math> и <math>-1\equiv p-1 \pmod{p}</math>

Поскольку 1 и −1 не являются соседними <math>l</math>-ыми степенями по модулю <math>p</math>, следовательно Условие 2 для <math>m=1</math> выполняется автоматически

Поскольку <math>l^2-1=(l+1)(l-1)</math> не может делиться на простое число <math>2l+1>l+1</math>, то при <math>m=1</math> Условие 3 также выполнено

==== Следствие Лежандра. ====
Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя <math>l</math>, если хотя бы одно из пяти чисел:

<math>4l+1 , 8l+1 , 10l+1 , 14l+1 , 16l+1 </math>

является простым числом<ref>{{статья |автор=М. М. Постников |заглавие=Теорема Ферма |издательство=НАУКА Главная редакция физико-математической литературы |год=1978 |страницы=15 }} </ref>

==== Следствие Вендта. ====
Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя <math>l</math>, если существует такое <math>m\geq1</math>, что:

1). Число <math>p=2ml+1</math> является простым числом, не делящим числа <math>D_m</math>

2). Число <math>l^{2m}-1</math> не делится на <math>p</math>

Число <math>D_m</math> допускает 3 равнозначных определения:

а). <math>D_m=(-1)^m\prod _{j=1}^{2m-1}[(1+\xi^j)-1]</math>, где <math>\xi=\cos {\pi \over m}+i \sin{\pi\over m}</math>

б). <math>D_m</math> является определителем матрицы:

<math>\left( \begin{smallmatrix} C_1^{2m} & C^{2m}_2 & ... & C^{2m}_{2m-1} & C^{2m}_{2m} \\ C^{2m}_2 & C^{2m}_3 & ... & C^{2m}_{2m} & C^{2m}_1 \\ ...&...&...&...&...\\ C^{2m}_{2m} & C^{2m}_1 & ... & C^{2m}_{2m-2} & C^{2m}_{2m-1}  \end{smallmatrix} \right)</math>

в). <math>D_m</math> представляет собой т. н. [[результант]] многочленов <math>x^{2m}-1</math> и <math>(x+1)^{2m}-1</math><ref>{{статья |автор=М. М. Постников |заглавие=Теорема Ферма |издательство=НАУКА Главная редакция физико-математической литературы |год=1978 |страницы=16 }} </ref>

Итальянские историки математики А. Чентина и А. Фьокка, исследовавшие письменное наследие С. Жермен, пришли к выводу, что её вклад в доказательство большой теоремы Ферма не ограничивается только теоремой Жермен, а простирается намного дальше<ref name="savich">''Виноградова Т.'' В. [https://www.elibrary.ru/contents.asp?id=33830946  2013. 02. 015. Чентина А., Фьокка А. Переписка между Софи Жермен и Карлом Фридрихом Гауссом. Centina A., Fiocca A. The correspondence between Sophie Germain and Carl Friedrich Gauss // Arch. For history of exact Sciences. — CN, 2012. — Vol. 66, n 6. — p. 582—602] //Социальные и гуманитарные науки. Отечественная и зарубежная литература. Сер. 8, Науковедение: Реферативный журнал. 2013 № 2.</ref>.

== Примечания ==
{{примечания}}

== Ссылки ==

[[Категория:Теоремы теории чисел]]