Теорема Софи Жермен

Теорема Софи Жермен — это утверждение, что если переменные x, y и z в уравнении $x^5+y^5=z^5$ являются нечетными простыми целыми числами, то одна из переменных должна делиться на 5. Решение теоремы Софи Жермен изложила в письме Пьеру Ферма в 1808 году. Эта доказательство является частным случаем решения Великой теоремы Ферма.

Описание

Исследуя Великую теорему Ферма, Софи Жермен доказала следующую теорему: Шаблон:Теорема

В частности, если $p$ и $2p+1$ просты (при этом $p$ называется числом Софи Жермен), то для $p$ справедлив первый случай теоремы Ферма. Шаблон:Hider Полезно иметь в виду, что любая $p$-ая степень $\xi$ по модулю $q=2mp+1$ удовлетворяет сравнению

${\xi }^{2m}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

Действительно, если $\xi =a^l(\mathrm{mod}p)$, где $a\equiv ̸0(\mathrm{mod}p)$, то по малой теореме Ферма ${\xi }^{2m}\equiv a^{2ml}\equiv a^{p-1}\equiv 1(\mathrm{mod}p)$

При $m=1$ для любого простого $p$ существует только 2 несравнимых числа ξ , удовлетворяющих сравнению ${\xi }^2\equiv 1(\mathrm{mod}p)$, а именно числа $1$ и $-1\equiv p-1(\mathrm{mod}p)$

Поскольку 1 и −1 не являются соседними $l$-ыми степенями по модулю $p$, следовательно Условие 2 для $m=1$ выполняется автоматически

Поскольку $l^2-1=(l+1)(l-1)$ не может делиться на простое число $2l+1>l+1$, то при $m=1$ Условие 3 также выполнено

Следствие Лежандра.

Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя $l$, если хотя бы одно из пяти чисел:

$4l+1,8l+1,10l+1,14l+1,16l+1$

является простым числом

Следствие Вендта.

Первый случай теоремы Ферма справедлив для простого показателя $l$, если существует такое $m\ge 1$, что:

1). Число $p=2ml+1$ является простым числом, не делящим числа $D_m$

2). Число $l^{2m}-1$ не делится на $p$

Число $D_m$ допускает 3 равнозначных определения:

а). $D_m=(-1{)}^m\prod _{j=1}^{2m-1}[(1+{\xi }^j)-1]$, где $\xi =\cos \frac{\pi }{m}+i\sin \frac{\pi }{m}$

б). $D_m$ является определителем матрицы:

$\left(\begin{array}{ccccc}{C}_1^{2m}& C_2^{2m}& ...& C_{2m-1}^{2m}& C_{2m}^{2m}\\ C_2^{2m}& C_3^{2m}& ...& C_{2m}^{2m}& C_1^{2m}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ C_{2m}^{2m}& C_1^{2m}& ...& C_{2m-2}^{2m}& C_{2m-1}^{2m}\end{array}\right)$

в). $D_m$ представляет собой т. н. результант многочленов $x^{2m}-1$ и $(x+1{)}^{2m}-1$

Итальянские историки математики А. Чентина и А. Фьокка, исследовавшие письменное наследие С. Жермен, пришли к выводу, что её вклад в доказательство большой теоремы Ферма не ограничивается только теоремой Жермен, а простирается намного дальше.