Результант

Шаблон:Не путать В математике, результантом $ℛ$ двух многочленов $P(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\dots +a_n{x}^n$ и $Q(x)=b_0+b_{1}x+b_2{x}^2+\dots +b_m{x}^m$ над некоторым полем $𝕂$, называется выражение

$ℛ=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=a_n^m{b}_m^n\prod _{P(\alpha )=0,Q(\beta )=0}(\alpha -\beta )$,

где $\alpha$ — корень $P(x)$, а $\beta$ — корень $Q(x)$.

Иными словами, это произведение попарных разностей между их корнями. Произведение здесь берётся по всем корням в алгебраическом замыкании поля $𝕂$ с учётом их кратностей; поскольку получающееся выражение является симметрическим многочленом от корней многочленов $P$ и $Q$ (лежащих, быть может, вне поля $𝕂$), оно тем самым оказывается многочленом от коэффициентов $P$ и $Q$.

Свойства и способы вычисления

• Основным свойством результанта, и его основным применением, является следующее: результант — многочлен от коэффициентов $P$ и $Q$, равный нулю в том и только в том случае, когда у многочленов $P$ и $Q$ имеется общий корень, возможно, в некотором расширении поля $𝕂$.
• Результант может быть найден как определитель матрицы Сильвестра.
• Дискриминант — это, с точностью до знака, результант многочлена и его производной, поделённый на старший коэффициент многочлена; тем самым, дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда у многочлена есть кратные корни.
• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P_1{P}_2,Q)=\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P_1,Q)\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P_2,Q)$
• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,\mathrm{const})={\mathrm{const}}^{\mathrm{deg}P}$
• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(AP(x),BQ(x))=A^{\mathrm{deg}Q}{B}^{\mathrm{deg}P}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P(x),Q(x))$
• Если $A,C\ne 0,\mathrm{deg}(AP(x)+BQ(x))=\mathrm{deg}(CP(x)+DQ(x))=n⩾1$, то

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(AP(x)+BQ(x),CP(x)+DQ(x))=(AD-BC{)}^n\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P(x),Q(x))$

• $\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=0\iff \mathrm{deg}\gcd (P,Q)⩾1$, т.е. результант тогда и только тогда равен нулю, когда НОД многочленов нетривиален. Вообще, вычисление результанта может быть произведено с помощью алгоритма Евклида, и именно так вычисляется результант в различных матпакетах.
• Для многочленов $P(x),Q(x)$ существуют многочлены $U(x),V(x)$ с $\mathrm{deg}U⩽\mathrm{deg}P-1,\mathrm{deg}V⩽\mathrm{deg}Q-1$ такие, что

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P(x),Q(x))=P(x)V(x)+Q(x)U(x)$. Многочлены $U(x),V(x)$ с $m=\mathrm{deg}U,n=\mathrm{deg}V$ могут быть получены из представления результанта определителем в форме Сильвестра, в котором последний столбец заменён на $(x^m,...,x,1,0,...,0{)}^T$ для $U(x)$ или на $(0,...,0,x^n,...,x,1{)}^T$ для $V(x)$.

• Для сепарабельного многочлена, в частности, для полей характеристики нуль, результант равен произведению значений одного из многочленов по корням другого, как и раньше, произведение берётся с учётом кратности корней:

$\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{s}(P,Q)=\prod _{P(x)=0}Q(x).$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Статья Weisstein, Eric W. «Resultant» на сайте «MathWorld».