Матрица Сильвестра

Матрица Сильвестра — матрица, позволяющая вычислить результант двух многочленов. Введена английским математиком Джеймсом Сильвестром (1814—1897).

Определение

Пусть даны многочлены

A (x) = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} x^{i} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n}

,

B (x) = \sum_{i = 0}^{m} b_{i} x^{i} = b_{0} + b_{1} x + \dots + b_{m} x^{m}

.

Тогда матрицей Сильвестра для этих многочленов будет квадратная матрица $(n + m) \times (n + m)$ вида

S_{A, B} = (\begin{matrix} a_{n} & a_{n - 1} & a_{n - 2} & \dots & \dots & a_{0} & 0 & \dots & 0 \\ 0 & a_{n} & a_{n - 1} & a_{n - 2} & \dots & a_{1} & a_{0} & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & \dots & 0 & a_{n} & a_{n - 1} & a_{n - 2} & \dots & a_{1} & a_{0} \\ b_{m} & b_{m - 1} & \dots & \dots & b_{0} & 0 & \dots & \dots & 0 \\ 0 & b_{m} & \dots & \dots & b_{1} & b_{0} & 0 & \dots & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & \dots & \dots & \dots & 0 & b_{m} & \dots & b_{1} & b_{0} \end{matrix})

.

Количество строк матрицы, содержащих коэффициенты многочлена $a (x)$ , равно $m$ , а многочлена $b (x)$ — $n$ . Результант многочленов находится как определитель этой матрицы:

R (A, B) = \det S_{A, B}

.

Для многочленов

A (x) = a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}

,

B (x) = b_{3} x^{3} + b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0}

матрица Сильвестра будет выглядеть так:

S_{A, B} = (\begin{matrix} a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 & 0 \\ 0 & a_{2} & a_{1} & a_{0} & 0 \\ 0 & 0 & a_{2} & a_{1} & a_{0} \\ b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} & 0 \\ 0 & b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \end{matrix})

.