Просмотр кода страницы Теорема Фейербаха

[[Файл:Фей8.png|мини|справа|405x405пкс|[[Окружность девяти точек]] (проходящая через середины сторон треугольника) отмечена пунктиром.]]


{{К объединению|2021-10-21|Точка Фейербаха}}

'''Теорема Фейербаха''' — результат [[Геометрия треугольника|геометрии треугольника]]. Теорема была сформулирована и доказана [[Фейербах, Карл Вильгельм|Карлом Вильгельмом Фейербахом]] в [[1822 год в науке|1822 году]].

== Формулировка ==
[[Окружность девяти точек]] произвольного треугольника [[Касание|касается]] [[вписанная окружность|вписанной]] и всех трёх [[вневписанная окружность|вневписанных]] окружностей этого треугольника.

== Замечания ==
* Точки попарного касания вписанной и трех вневписанных окружностей с [[окружность девяти точек|окружностью девяти точек]] называются '''точками Фейербаха'''.
* Каждая ''точка Фейербаха'' лежит в точке касания пары соответствующих окружностей на линии, соединяющей их центры, на расстоянии соответствующих радиусов до их центров.
* В [[Правильный треугольник|равностороннем треугольнике]] окружность девяти точек не касается, а совпадает со вписанной окружностью.

* Три точки касания трёх [[вневписанная окружность|вневписанных]] окружностей треугольника с его с [[окружность девяти точек|окружностью девяти точек]] образуют так называемый '''треугольник Фейербаха''' для данного треугольника.

* ''[[Точка Фейербаха]]'' ''F'' в [[Энциклопедия центров треугольника|Энциклопедии центров треугольника]] Кларка Кимберлинга идентифицируется, как точка (центр) X(11).

=== О доказательствах ===
Найдено более 300 доказательств этой теоремы, многие из которых используют инверсию.
Одно из них (громоздкое) принадлежит самому Фейербаху.
Самое короткое известное доказательство использует обратную [[теорема Кейси|теорему Кейси]]{{sfn|Casey|1866|с=411}}. Доказательство без [[Инверсия (геометрия)|инверсии]] использует критерий Архимеда<ref>{{Cite web|url=https://www.youtube.com/watch?v=fX1HJE0C4Nw&t=1257s|title=Feuerbach's theorem #SoME3|lang=ru-RU|access-date=2023-09-08|archive-date=2023-09-08|archive-url=https://web.archive.org/web/20230908124535/https://www.youtube.com/watch?v=fX1HJE0C4Nw&t=1257s|deadlink=no}}</ref>

== Связанные утверждения ==
* '''Гипербола Фейербаха''' — описанная гипербола, проходящая через [[ортоцентр]] и центр [[вписанная окружность|вписанной окружности]]. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит ''окружность, проведённая через основания [[биссектриса|биссектрис]]''.<ref>{{Книга:Акопян-Заславский|2011|105}}</ref><ref>''Dan Pedoe''. Circles: A Mathematical View, Mathematical Association of America, Washington, D. C., 1995.</ref>
[[Файл:Фей5.png|справа|мини|405x405пкс|Точки Фейербаха: <math>F</math>, <math>F_a</math>, <math>F_b</math>, <math>F_c</math>.]]
* ''Точка Фейербаха'' ''F'' лежит на линии, соединяющей центры двух окружностей: окружности Эйлера и вписанной окружности, что и определяет её.
* Пусть <math>x</math>, <math>y</math> и <math>z</math> расстояния от ''точки Фейербаха'' ''F'', до вершин [[Серединный треугольник|серединного треугольника]] (треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника). Тогда<ref>{{mathworld|id=FeuerbachPoint|title=Feuerbach Point}}</ref>
*: <math>x+y+z = 2\max(x,y,z) </math>.
:* Это утверждение эквивалентно тому, что наибольшее из трёх расстояний равно сумме двух других. То есть аналог свойств [[Окружность девяти точек|теоремы Мавло]] не для дуг, а для отрезков.
Аналогичное соотношение также встречается в разделе: «[[Теорема Помпею]]».

* Несколько новых теорем о ''точке Фейербаха'' ''F'' можно найти у Ф. Ивлева<ref>Ивлев Ф. Несколько прямых, проходящих через точку Фейербаха/ Математическое просвещение, сер. 3, вып. 15, 2011. С. 219—228</ref>.

== Примечания ==
{{примечания|35em}}

== Литература ==
* ''Дм. Ефремов,'' [https://web.archive.org/web/20050302151746/http://www.mccme.ru/free-books/djvu/ngt/index.htm Новая геометрия треугольника]. (1902)
* {{Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией}}
* {{Книга:Элементарная геометрия. Понарин|49-50|1}}
* Точка Феербаха (Feuerbach point. англ. яз.). https://en.wikipedia.org/wiki/Feuerbach_point
* Точки Феербаха (англ. яз.). http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/feuer.html
* {{citation
 | last = Thébault | first = Victor
 | doi = 10.2307/2305531
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 0033039
 | pages = 546–547
 | title = On the Feuerbach points
 | volume = 56
 | year = 1949}}
* {{citation
 | last1 = Emelyanov | first1 = Lev
 | last2 = Emelyanova | first2 = Tatiana
 | journal = Forum Geometricorum
 | mr = 1891524
 | pages = 121–124 (electronic)
 | title = A note on the Feuerbach point
 | volume = 1
 | year = 2001}}
* {{citation
 | last1 = Suceavă | first1 = Bogdan
 | last2 = Yiu | first2 = Paul
 | journal = Forum Geometricorum
 | mr = 2282236
 | pages = 191–197
 | title = The Feuerbach point and Euler lines
 | volume = 6
 | year = 2006}}
* {{citation
 | last = Vonk | first = Jan
 | journal = Forum Geometricorum
 | mr = 2534378
 | pages = 47–55
 | title = The Feuerbach point and reflections of the Euler line
 | volume = 9
 | year = 2009}}
* {{citation
 | last1 = Nguyen | first1 = Minh Ha
 | last2 = Nguyen | first2 = Pham Dat
 | journal = Forum Geometricorum
 | mr = 2955643
 | pages = 39–46
 | title = Synthetic proofs of two theorems related to the Feuerbach point
 | volume = 12
 | year = 2012}}
* {{статья
 | автор = John Casey
 | издание = Proceedings of the Royal Irish Academy
 | jstor = 20488927
 | страницы = 396—423
 | заглавие = On the Equations and Properties: (1) of the System of Circles Touching Three Circles in a Plane; (2) of the System of Spheres Touching Four Spheres in Space; (3) of the System of Circles Touching Three Circles on a Sphere; (4) of the System of Conics Inscribed to a Conic, and Touching Three Inscribed Conics in a Plane
 | номер = 9
 | год = 1866
 |ref=Casey
}}

[[Категория:Геометрия треугольника]]
[[Категория:Теоремы планиметрии|Фейербаха]]