Теорема Фейербаха

Окружность девяти точек (проходящая через середины сторон треугольника) отмечена пунктиром.

Шаблон:К объединению

Теорема Фейербаха — результат геометрии треугольника. Теорема была сформулирована и доказана Карлом Вильгельмом Фейербахом в 1822 году.

Формулировка

Окружность девяти точек произвольного треугольника касается вписанной и всех трёх вневписанных окружностей этого треугольника.

Замечания

• Точки попарного касания вписанной и трех вневписанных окружностей с окружностью девяти точек называются точками Фейербаха.
• Каждая точка Фейербаха лежит в точке касания пары соответствующих окружностей на линии, соединяющей их центры, на расстоянии соответствующих радиусов до их центров.
• В равностороннем треугольнике окружность девяти точек не касается, а совпадает со вписанной окружностью.

• Три точки касания трёх вневписанных окружностей треугольника с его с окружностью девяти точек образуют так называемый треугольник Фейербаха для данного треугольника.

• Точка Фейербаха F в Энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга идентифицируется, как точка (центр) X(11).

О доказательствах

Найдено более 300 доказательств этой теоремы, многие из которых используют инверсию. Одно из них (громоздкое) принадлежит самому Фейербаху. Самое короткое известное доказательство использует обратную теорему КейсиШаблон:Sfn. Доказательство без инверсии использует критерий Архимеда

Связанные утверждения

• Гипербола Фейербаха — описанная гипербола, проходящая через ортоцентр и центр вписанной окружности. Её центр лежит в точке Фейербаха. Подерные и чевианные окружности точек на гиперболе Фейербаха проходят через точку Фейербаха. В частности, через точку Фейербаха проходит окружность, проведённая через основания биссектрис.

Точки Фейербаха: $F$, $F_a$, $F_b$, $F_c$.

• Точка Фейербаха F лежит на линии, соединяющей центры двух окружностей: окружности Эйлера и вписанной окружности, что и определяет её.
• Пусть $x$, $y$ и $z$ расстояния от точки Фейербаха F, до вершин серединного треугольника (треугольника с вершинами в серединах сторон данного треугольника). Тогда

  $x+y+z=2\max (x,y,z)$.

• Это утверждение эквивалентно тому, что наибольшее из трёх расстояний равно сумме двух других. То есть аналог свойств теоремы Мавло не для дуг, а для отрезков.

Аналогичное соотношение также встречается в разделе: «Теорема Помпею».

• Несколько новых теорем о точке Фейербаха F можно найти у Ф. Ивлева.

Литература

• Дм. Ефремов, Новая геометрия треугольника. (1902)
• Шаблон:Книга:Коксетер. Грейтцер. Новые встречи с геометрией
• Шаблон:Книга:Элементарная геометрия. Понарин
• Точка Феербаха (Feuerbach point. англ. яз.). https://en.wikipedia.org/wiki/Feuerbach_point
• Точки Феербаха (англ. яз.). http://faculty.evansville.edu/ck6/tcenters/class/feuer.html
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Статья