Просмотр кода страницы Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров

<noinclude>{{к удалению|2023-05-30}}</noinclude>
'''Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров''' — теорема, формулирующая свойства решений [[Обыкновенное дифференциальное уравнение|обыкновенных дифференциальных уравнений]] с параметрами. Характер зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров представляет значительный интерес для практики.{{sfn|Лизоркин|с=59|1981}}

Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров вместе с подробным доказательством излагается в '''университетских учебниках МГУ'''<ref name="Arn2018">''[[Арнольд, Владимир Игоревич|В.И. Арнольд]]'' Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: [[МЦНМО]], 2018. — ISBN 978-5-4439-1254-7 — c. 102-103</ref><ref name="Serg2023">''[[Сергеев, Игорь Николаевич (математик)|И.Н. Сергеев]]'' Дифференциальные уравнения. — М.: [[МГУ]], 2023. — ISBN 978-5-19-011829-2 — c. 157-189</ref><ref>''[[Понтрягин, Лев Семёнович|Л. С. Понтрягин]]'' Обыкновенные дифференциальные уравнения. — {{М.}}, [[Наука (издательство)|Наука]], 1970. — с. 178—195</ref><ref>''[[Петровский, Иван Георгиевич|И. Г. Петровский]]'' Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — {{М.}}, [[Наука (издательство)|Наука]], 1970. — с. 82-86</ref>, учебнике для '''инженерно-физических и физико-технических''' специальностей вузов<ref name ="Lizo">''[[Лизоркин, Пётр Иванович|П. И. Лизоркин]]'' Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. — {{М.}}, [[Наука (издательство)|Наука]], 1981. — с. 56-59</ref>. Значимость теоремы о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров определяется тем, что при описании физических систем посредством дифференциальных уравнений эмпирические оценки внешних воздействий и параметров начального положения производятся обычно с некоторой ошибкой. Для того, чтобы решение дифференциального уравнения, которое описывает физический процесс, имело практическую ценность, необходимо быть уверенным, что небольшие ошибки в параметрах ведут к небольшим изменениям в решении.<ref name ="Lizo"></ref>

На теореме о (непрерывной и дифференцируемой) зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров основан
использующийся во всех приложениях теории дифференциальных уравнений метод приближённого решения уравнений, близких к уравнениям, для которых решение известно точно ([[теория возмущений]]).<ref name="Arn2018"></ref>
 
== Формулировка ==
Система [[обыкновенное дифференциальное уравнение|обыкновенных дифференциальных уравнений]]

{{NumBlk|:|<math>\vec{\dot{y}} = \vec{f}(t, \vec{y}, \vec{\mu})</math>|{{EquationRef|1|1}}}}

где <math>t</math> — независимая скалярная переменная, <math>\vec{y} = (y_{1}, ..., y_{n})</math> — вектор, <math>\vec{\mu} = (\mu_{1}, ..., \mu_{m})</math> — [[вектор]], <math>\vec{f}(t, \vec{y}, \vec{\mu}) = ( f_{1}(t, \vec{y}, \vec{\mu}), ..., f_{n}(t, \vec{y}, \vec{\mu}))</math>, — векторная функция вектора <math>\vec{y}</math>, вектора <math>\vec{\mu}</math> и скаляра <math>t</math>,
знак <math>\dot{y}</math> означает производную <math>y</math> по <math>t</math>.
 
Если все функции <math>f_{i}(t, \vec{y}, \vec{\mu})</math>, <math>i = 1, ... n</math> и все их частные производные до <math>p</math>-го <math>(p \geqslant 1)</math> порядка по всем <math>y_{i}</math> и <math>\mu_{k}</math> непрерывны по всем их аргументам и ограничены, когда точка <math>(t, \vec{y})</math> находится в области <math>G</math>, а <math>\left | \mu_{k} \right | < C, k=1, ..., m</math>, где <math>C</math> — некоторое положительное число, то для каждой внутренней точки <math>(t_{0}, \vec{y_{0}})</math> области <math>G</math> можно указать такой интервал <math>(a, b)</math>, заключающий внутри себя точку <math>t_{0}</math>, что при всех рассматриваемых <math>\mu_{k}</math> на нём существует одна и только одна система функций

: <math>\vec{y} = \vec{\varphi}(t, \vec{\mu})\,,</math>

которые удовлетворяют системе ({{EquationNote|1|1}}), имеют непрерывные производные до <math>p</math>-го порядка по всем <math>\vec{\mu}</math> и при <math>t = t_{0}</math> обращаются в <math>\vec{y_{0}}</math>. Эта теорема остаётся верной и для <math>p=0</math>, если функции <math>\vec{f}</math> удовлетворяют [[условие Липшица|условию Липшица]] по <math>\vec{y}</math> с коэффициентом, не зависящим от <math>\mu</math>.{{sfn|Петровский|с=110—111|1949}}

== Пояснения ==
Областью <math>G</math> называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами:
# Каждая точка <math>G</math> есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G.
# Множество <math>G</math> связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного
числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри <math>G</math>. {{sfn|Петровский|с=9|1949}}

== Примечания ==
{{Примечания}}

== Литература ==
* {{книга | автор = [[Петровский, Иван Георгиевич|И.Г. Петровский]] | заглавие = Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений | место = {{М.}},{{Л.}} | издательство = ГосТехТеорИздат | год = 1949 | страниц = 208 | ref = Петровский}}
* {{книга | автор = [[Лизоркин, Пётр Иванович|П.И. Лизоркин]] | заглавие = Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа | место = {{М.}} | издательство = Наука | год = 1981 | страниц = 384 | ref = Лизоркин}}


[[Категория:Теоремы о дифференциальных уравнениях|зависимость]]
[[Категория:Дифференциальные уравнения|зависимость]]