Просмотр кода страницы Теорема разложения Гельмгольца

'''Теорема разложения [[Гельмгольц]]а''' — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

{{рамка}}
Если [[дивергенция]] и [[Ротор (математика)|ротор]] векторного поля <math> \mathbf{F}(\mathbf{r}) </math> определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля <math>\mathbf{F}_1(\mathbf{r})</math> и соленоидального поля <math>\mathbf{F}_2(\mathbf{r})</math>:

: <math> \mathbf{F}(\mathbf{r})=\mathbf{F}_1(\mathbf{r})+\mathbf{F}_2(\mathbf{r}), </math>

где

: <math>\operatorname{rot}\;\mathbf{F}_1 (\mathbf{r}) =0 ,</math>

: <math>\operatorname{div}\,\mathbf{F}_2 (\mathbf{r}) = 0  </math>

для всех точек <math>\mathbf{r}</math> области V.
{{конец рамки}}

В более популярной формулировке для всего пространства теорема Гельмгольца гласит:

{{рамка}}
Любое векторное поле <math>\mathbf{F}</math>, однозначное, непрерывное и ограниченное во всем пространстве, может быть разложено на сумму потенциального и соленоидального векторных полей и представлено в виде:
: <math>\mathbf{F} = - \nabla \Phi + \nabla \times \mathbf{A}</math>

{{конец рамки}}

Скалярная функция <math>\Phi</math> называется скалярным потенциалом, векторная функция <math>\mathbf{A}</math> называется векторным потенциалом.{{sfn|Ли|с=50|1965}}.

== Формулировка теоремы ==
Пусть '''F''' — векторное поле в '''R'''³, и пусть оно дважды [[Непрерывная дифференцируемость|непрерывно дифференцируемо]] и убывает на бесконечности быстрее, чем 1/''r'', в случае неограниченной области.<ref name="griffiths">David J. Griffiths, ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice-Hall, 1989, p. 56.</ref> Тогда поле '''F''' представимо в виде суммы безвихревого поля (ротор которого равен нулю) и соленоидального поля (дивергенция которого равна нулю).

Одно из возможных представлений для векторного поля '''F''' в такой форме имеет вид суммы [[градиент]]а и [[Ротор (математика)|ротора]] двух явно вычислимых функций, как написано ниже:
: <math>\mathbf{F} = - \nabla\,(\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F})) + \nabla \times (\mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F})),</math>
где <math>\mathcal{G}</math> — это оператор [[Ньютонов потенциал|ньютониан]] (если он действует на векторное поле вроде ∇&nbsp;&times;&nbsp;'''F''', он действует на каждую его компоненту).

Если '''F''' имеет нулевую [[Дивергенция|дивергенцию]], ∇·'''F'''&nbsp;=&nbsp;0, то '''F''' называется [[Соленоидальное векторное поле|соленоидальным]], или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля '''F''' сокращается до
: <math>\mathbf{F} = \nabla \times \mathcal{G}(\nabla \times \mathbf{F}) = \nabla \times \mathbf{A}.</math>
В случае такого представлении поля '''A''' называется [[Векторный потенциал|векторным потенциалом]] поля '''F'''.
Для соленоидального поля (то есть поля с нулевой дивергенцией) всегда можно построить вектор-функцию (векторный потенциал), ротором которого данное поле является. Векторный потенциал для заданного соленоидального поля определяется со значительной степенью свободы. В частности, без ограничения общности на него можно наложить условие [[Калибровка векторного потенциала|кулоновской калибровки]] (или нормировки) ∇·'''A'''&nbsp;=&nbsp;0 (частный случай бездивергентного векторного потенциала, см. также ниже задачу о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции). К векторному потенциалу можно свободно добавить градиент любой скалярной функции — от этого его ротор, то есть определяемое им соленоидальное поле, не меняется (а если указанная скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то не меняется также и условие кулоновской калибровки, когда векторный потенциал ему удовлетворяет).

В случае, если '''F''' имеет нулевой ротор, ∇&times;'''F'''&nbsp;=&nbsp;0, то '''F''' называется безвихревым или локально [[Потенциальное векторное поле|потенциальным полем]], а разложение '''F''' принимает вид
: <math>\mathbf{F} =  - \nabla\,\mathcal{G} (\nabla \cdot \mathbf{F}) = - \nabla \phi.</math>
В случае такого представления поля &phi; называется ''[[Скалярный потенциал|скалярным потенциалом]]'' поля '''F'''.
Для безвихревого поля (то есть поля с нулевым ротором) всегда можно построить скалярную функцию (скалярный потенциал), градиентом которого данное поле является. Скалярный потенциал для заданного безвихревого поля определяется с точностью до аддитивной константы.

В общем случае '''F''' представимо суммой
: <math> \mathbf{F} = -\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A} </math>,
где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная. Представление '''F''' в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля не является единственным, поскольку к φ всегда можно прибавить произвольную функцию ψ, удовлетворяющую уравнению Лапласа, а к '''A''' — согласованную с ψ вектор-функцию '''H''', являющуюся результатом решения задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции (см. ниже) в соответствии с уравнениями ∇·'''H'''&nbsp;=&nbsp;0, ∇×'''H'''&nbsp;=&nbsp;∇ψ. Такая подстановка не только меняет скалярный и векторный потенциалы, участвующие в разложении Гельмгольца, но и существенным образом меняет безвихревое поле -∇(φ+ψ) и соленоидальное поле ∇×'''(A+H)''', на сумму которых распадается поле '''F'''.

== Поля, определенные ротором и дивергенцией ==
С '''теоремой Гельмгольца''' тесно связана задача о восстановлении векторного поля по дивергенции и ротору, которую иногда называют '''задачей Гельмгольца'''.
 
Пусть дано скалярное поле &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{d}(x,y,z)</math>&nbsp;&nbsp; и векторное поле &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{C}(x,y,z)</math>,&nbsp;&nbsp; которые достаточно [[Гладкая функция|гладки]] и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/''r''² на бесконечности. Требуется найти такое векторное поле &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{F}(x,y,z)</math>,&nbsp;&nbsp; что
: <math>\nabla\cdot\mathbf{F}=\mathbf{d}</math> &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;и&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{C}.</math>

При анализе существования и единственности решения задачи следует различать:
# внутреннюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются внутри ограниченной области, имеющей достаточно гладкую границу),
# внешнюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются для пространства '''R'''³ с вырезанной «дыркой», имеющей достаточно гладкую границу),
# задачу для всего пространства '''R'''³.

Внутренняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция &nbsp;&nbsp; <math>(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S})</math>&nbsp;&nbsp; для вектор-функции <math>\mathbf{F}</math>.

Внешняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция &nbsp;&nbsp; <math>(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S})</math>&nbsp;&nbsp; для вектор-функции <math>\mathbf{F}</math>, и на вектор-функцию <math>\mathbf{F}</math> наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{1/r}^{2+\varepsilon}</math>.

Задача для всего пространства '''R'''³ (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если на вектор-функцию <math>\mathbf{F}</math> наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{1/r}^{2+\varepsilon}</math>.

Во всех этих случаях решение задачи Гельмгольца единственно, <u>если оно существует</u> при заданных входных данных.

=== Необходимые условия существования решения ===

Задача имеет решение <u>не при всех</u> &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{d}(x,y,z)</math>,&nbsp;&nbsp; <math>\mathbf{C}(x,y,z)</math>&nbsp;&nbsp; и &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{g(S)}</math>&nbsp;&nbsp;:
# Из тождества &nbsp;&nbsp;<math> \nabla \cdot \nabla \times \mathbf{F} \equiv 0 </math>&nbsp;&nbsp; следует, что должно быть выполнено условие &nbsp;&nbsp;<math> \nabla \cdot \mathbf{C}=0 </math>,&nbsp;&nbsp; то есть дивергенция вектора &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{C}(x,y,z)</math>&nbsp;&nbsp; обязана быть равной нулю.
# Для внутренней задачи из тождества &nbsp;&nbsp;<math> \iiint_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV = \iint_{S} (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})\,dS</math>&nbsp;&nbsp; следует, что &nbsp;&nbsp;<math> \iiint_{V} \mathbf{d(x,y,z)}\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS</math>,&nbsp;&nbsp; то есть интеграл от краевого условия &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{g(S)}</math>&nbsp;&nbsp; по ограничивающей поверхности &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{S}</math>&nbsp;&nbsp; должен быть равен интегралу от функции &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{d}(x,y,z)</math>&nbsp;&nbsp; по объему области.
# Для внешней задачи и для задачи, заданной для всего пространства '''R'''³, функции &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{d}</math> &nbsp;&nbsp; и &nbsp;&nbsp;&nbsp; <math>\mathbf{C}</math>&nbsp;&nbsp; должны достаточно быстро стремиться к нулю на бесконечности вместе с самой функцией.

=== Достаточные условия существования и единственности решения ===

'''A. Внутренняя задача''': если
:# <math> \nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0 </math>&nbsp;&nbsp; и&nbsp;&nbsp;
:# <math> \iiint_{V} \mathbf{d(x,y,z)}\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS</math>,&nbsp;&nbsp;
: то решение задачи восстановления поля &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{F}(x,y,z)</math>&nbsp;&nbsp; по ротору &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{C}(x,y,z) </math>,&nbsp;&nbsp; дивергенции &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{d}(x,y,z) </math>&nbsp;&nbsp; и граничному условию &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{g(S)} </math>&nbsp;&nbsp; существует и единственно.

'''Б. Внешняя задача''': если
:# <math> \nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0 </math>&nbsp;&nbsp; и&nbsp;&nbsp;
:# интегралы <math> \iiint_{V} \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'</math>&nbsp;&nbsp; и &nbsp;&nbsp;<math> \iiint_{V} \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'</math>&nbsp;&nbsp; сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{r}\to\infty</math>&nbsp;&nbsp; по крайней мере как &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{1/r}^{1+\varepsilon}</math>,&nbsp;&nbsp;
: то решение задачи восстановления поля &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{F}(x,y,z)</math>&nbsp;&nbsp; по ротору &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{C}(x,y,z) </math>,&nbsp;&nbsp; дивергенции &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{d}(x,y,z) </math>,&nbsp;&nbsp; граничному условию &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{g(S)} </math>&nbsp;&nbsp; и условию, что &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F}(x,y,z) </math>&nbsp;&nbsp; спадает на бесконечности по крайней мере как &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{1/r}^{2+\varepsilon}</math>,&nbsp;&nbsp; существует и единственно.

'''В. Задача для всего пространства '''R'''³''': если
:# <math> \nabla \cdot \mathbf{C(x,y,z)}=0 </math>&nbsp;&nbsp; и&nbsp;&nbsp;
:# интегралы <math> \iiint_{V} \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'</math>&nbsp;&nbsp; и &nbsp;&nbsp;<math> \iiint_{V} \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|}\,dV'</math>&nbsp;&nbsp; сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{r}\to\infty</math>&nbsp;&nbsp; по крайней мере как &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{1/r}^{1+\varepsilon}</math>,&nbsp;&nbsp;
: то решение задачи восстановления поля &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{F}(x,y,z)</math>&nbsp;&nbsp; по ротору &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{C}(x,y,z) </math>,&nbsp;&nbsp; дивергенции &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{d}(x,y,z) </math>&nbsp;&nbsp; и условию, что &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F}(x,y,z) </math>&nbsp;&nbsp; спадает на бесконечности по крайней мере как &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{1/r}^{2+\varepsilon}</math>,&nbsp;&nbsp; существует и единственно.

Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения [[Задача Неймана|задачи Неймана]] для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).

=== Разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поля ===

С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции разложение векторного поля <math>\mathbf{F}(x,y,z)</math> на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:

# Для заданной вектор-функции <math>\mathbf{F}</math> вычисляются: функция <math> \mathbf{C} = \nabla \times \mathbf{F} </math> функция <math> \mathbf{d} = \nabla \cdot \mathbf{F} </math>, краевое условие <math>\mathbf{g}(\mathbf{S})=(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}</math>, если вектор-функция <math>\mathbf{F}</math> задана для подобласти пространства <math>\R^3</math> с границей <math>S</math>.
# Когда речь идёт о внутренней задаче, то из тождества <math>\iiint_{V} (\nabla \cdot \mathbf{F})\,dV \equiv \iint_{S} (\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})\,dS</math>, следует условие совместности <math>\iiint_{V} \mathbf{d}(x,y,z)\,dV = \iint_{S} \mathbf{g(S)}\,dS</math>. Поэтому все условия совместности входных данных для задачи <math> \nabla\cdot\mathbf{F_1} = \mathbf{d}</math> и <math> \nabla\times\mathbf{F_1} = 0</math> с краевым условием <math>\mathbf{g}(\mathbf{S})</math> выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция <math>\mathbf{F_1}</math> является безвихревым полем.
# Поскольку <math> \nabla\cdot\mathbf{C} = \nabla\cdot\nabla \times \mathbf{F}\equiv 0</math>, условия совместности входных данных для задачи <math> \nabla\cdot\mathbf{F}_2 = 0</math> и <math> \nabla\times\mathbf{F}_2 = \mathbf{C}</math> с нулевым краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция <math>\mathbf{F_2}</math> является соленоидальным полем.
# Рассмотрим задачу <math> \nabla\cdot\mathbf{F}_3 = \mathbf{d}</math>, <math> \nabla\times\mathbf{F}_3 = \mathbf{C}</math> с краевым условием <math>\mathbf{g}(\mathbf{S})</math>. Условия совместности входных данных выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. При этом с одной стороны, решением данной задачи является сама функция <math>\mathbf{F}</math>, а с другой стороны, решением этой же задачи является функция <math>\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2</math>. Значит, <math>\mathbf{F}\equiv\mathbf{F}_1+\mathbf{F}_2</math>, искомое представление поля <math>\mathbf{F}</math> как суммы безвихревого поля и соленоидального поля построено.

Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.

=== Восстановление вектор-функции по ротору и дивергенции ===

Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:

: 1)&nbsp;Для заданной функции &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{d}(x,y,z) </math>&nbsp;&nbsp; вычисляется функция &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F_1}(x,y,z)=\nabla \mathbf{U}</math>,&nbsp;&nbsp; где скалярный потенциал &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{U}(x,y,z) </math>&nbsp;&nbsp; вычисляется по формуле
::: &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{U}(x,y,z)=-\frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\mathbf{d}(x',y',z')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'dy'dz' </math>.&nbsp;&nbsp;
:: В результате получается функция &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F_1}(x,y,z)</math>,&nbsp;&nbsp; у которой &nbsp;&nbsp;<math>\nabla \cdot \mathbf{F_1}(x,y,z)=\mathbf{d}(x,y,z)</math>&nbsp;&nbsp; и &nbsp;&nbsp;<math>\nabla \times \mathbf{F_1}(x,y,z)=0</math>;&nbsp;&nbsp;

: 2)&nbsp;Для заданной функции &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{C}(x,y,z) </math>&nbsp;&nbsp; вычисляется функция &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F_2}(x,y,z)=\nabla \times \mathbf{A}</math>,&nbsp;&nbsp; где векторный потенциал &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{A}(x,y,z) </math>&nbsp;&nbsp; вычисляется по формуле
::: &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{A}(x,y,z)=+\frac{1}{4\pi}\iiint_V \frac{\mathbf{C}(x',y',z')}{\sqrt{(x-x')^2+(y-y')^2+(z-z')^2}}dx'dy'dz' </math>.&nbsp;&nbsp;
:: В результате получается функция &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F_2}(x,y,z)</math>,&nbsp;&nbsp; у которой &nbsp;&nbsp;<math>\nabla \cdot \mathbf{F_2}(x,y,z)=0</math>&nbsp;&nbsp; и &nbsp;&nbsp;<math>\nabla \times \mathbf{F_2}(x,y,z)=\mathbf{C}(x,y,z)</math>;&nbsp;&nbsp;

: 3) Ищется функция &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F_3}(x,y,z)</math>,&nbsp;&nbsp; у которой &nbsp;&nbsp;<math>\nabla \cdot \mathbf{F_3}(x,y,z)=0</math>,&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp;<math>\nabla \times \mathbf{F_3}(x,y,z)=0</math>,&nbsp;&nbsp; а нормальная проекция на границе области &nbsp;&nbsp;<math>(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F_3})|_{S}</math>&nbsp;&nbsp; выбрана таким образом, чтобы &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F}=\mathbf{F_1}+\mathbf{F_2}+\mathbf{F_3} </math>&nbsp;&nbsp; удовлетворяла граничному условию &nbsp;&nbsp;<math>(\mathbf{n}\cdot\mathbf{F})|_{S}=\mathbf{g}(\mathbf{S})</math>.&nbsp;&nbsp;
:: Чтобы найти такую функцию &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F_3}(x,y,z) </math>,&nbsp;&nbsp; делается подстановка &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F_3}(x,y,z)=\nabla \mathbf{H}</math>,&nbsp;&nbsp; где скалярный потенциал &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{H}(x,y,z) </math>&nbsp;&nbsp; должен удовлетворять уравнению Лапласа &nbsp;&nbsp;<math> \Delta\mathbf{H}=0 </math>.&nbsp;&nbsp; Для функции &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{H}(x,y,z) </math>&nbsp;&nbsp; получается [[Задача Неймана|краевое условие Неймана]] &nbsp;&nbsp;<math> \left.\frac{\partial\mathbf{H}}{\partial\mathbf{n}}\right|_{S}=\mathbf{g(S)}-(\mathbf{n}\cdot(\mathbf{F_1+F_2})) </math>, &nbsp;&nbsp; причем легко проверить, что критерий разрешимости [[Задача Неймана|задачи Неймана]] будет выполнен. Поэтому функция &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{H}(x,y,z) </math>&nbsp;&nbsp; всегда существует, определяется единственным образом для внешней задачи, и с точностью до аддитивной константы для внутренней задачи. В результате нужная нам функция &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F_3}(x,y,z)</math>&nbsp;&nbsp; всегда существует и единственна.

Функция &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z)+\mathbf{F_3}(x,y,z)</math>&nbsp;&nbsp; является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида &nbsp;&nbsp;<math>\mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z)+\mathbf{F_3}(x,y,z)</math>,&nbsp;&nbsp; где &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F_3}(x,y,z)</math>,&nbsp;&nbsp; есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве '''R'''³, решением (единственным) будет функция &nbsp;&nbsp;<math> \mathbf{F}(x,y,z)=\mathbf{F_1}(x,y,z)+\mathbf{F_2}(x,y,z)</math>,&nbsp;&nbsp; обладающая нужным поведением на бесконечности.

=== Альтернативная формулировка теоремы Гельмгольца ===

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть '''C''' — соленоидальное векторное поле ('''div C=0'''), а ''d'' — скалярное поле в '''R'''³, которые достаточно [[Гладкая функция|гладки]] и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/''r''² на бесконечности. Тогда существует векторное поле '''F''' такое, что
: <math>\nabla \cdot \mathbf{F} = d</math>&nbsp;&nbsp; и &nbsp;&nbsp;<math> \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{C}.</math>
Если к тому же векторное поле '''F''' рассматривается во всём пространстве '''R'''³ и исчезает при ''r''&nbsp;&rarr;&nbsp;∞, тогда '''F''' единственно.<ref name="griffiths"/> В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определённых условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причём когда задача определена во всем пространстве '''R'''³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в [[Электростатика|электростатике]]; например, [[уравнения Максвелла]] в статическом случае описывают поля как раз этого типа<ref name="griffiths"/>. Как уже было написано выше, одно из возможных решений:
: <math>\mathbf{F} = - \nabla\,(\mathcal{G} (d)) + \nabla \times (\mathcal{G}(\mathbf{C})).</math>

== См. также ==

* [[Векторное поле]]
* [[Векторный анализ]]
* [[Формулы векторного анализа]]
* [[Соленоидальное векторное поле]]

== Примечания ==
{{примечания}}

== Литература ==
* [http://www.libedu.ru/l_a/kochin_n_e_.html  Кочин Н. Е. — Векторное исчисление и начала тензорного анализа]
* {{Книга:Корн Г.А., Корн Т.М.:Справочник по математике|страницы=177}}
* {{книга | автор = [[Ли Чжэндао|Ли Цзун-дао]] | заглавие = Математические методы в физике | место = М. | издательство  = Мир
 | год = 1965 | страниц = 296 | isbn =  | ref = Ли}}

{{rq|img|topic=math}}

[[Категория:Векторный анализ]]